Proof of Proposition 3.11:

(*We establish the multiplication for SW. We set the variable l to be sw. The bar denotes inverse. *) 
vars={s,w,l};
(Subscript[m, i_,j_->k_])[Z_]:=Expand[Z]/.{(Subscript[s, i])(Subscript[s, j])->1,(Subscript[w, i])(Subscript[w, j])->0,(Subscript[s, i])(Subscript[w, j])->(Subscript[l, k]), (Subscript[w, i])(Subscript[s, j])->-(Subscript[l, k]),(Subscript[l, i])(Subscript[s, j])->-(Subscript[w, k]),(Subscript[s, i])(Subscript[l, j])->(Subscript[w, k]),(Subscript[l, i])(Subscript[w, j])->0,(Subscript[w, i])(Subscript[l, j])->0,(Subscript[l, i])(Subscript[l, j])->0, (Subscript[x_, i ])  /; MemberQ[vars,x]  :>(Subscript[x, k]),(Subscript[x_, j])/; MemberQ[vars,x]:>(Subscript[x, k])}

(* We start by declaring the elements R and κ: *)
(Subscript[κ, i_]) := (Subscript[λ, 1])+(Subscript[λ, 2])(Subscript[s, i])+(Subscript[λ, 3])(Subscript[w, i])+(Subscript[λ, 4])(Subscript[l, i]);
(Subscript[(OverBar[κ]), i_]) :=  (Subscript[(OverBar[λ]), 1])+(Subscript[(OverBar[λ]), 2])(Subscript[s, i])+(Subscript[(OverBar[λ]), 3])(Subscript[w, i])+(Subscript[(OverBar[λ]), 4])(Subscript[l, i]);
(Subscript[R, i_,j_]):=(Subscript[μ, 1,1])+ (Subscript[μ, 1,2])(Subscript[s, i])+(Subscript[μ, 1,3])(Subscript[w, i])+(Subscript[μ, 1,4])(Subscript[l, i]) +(Subscript[μ, 2,1])(Subscript[s, j])+ (Subscript[μ, 2,2])(Subscript[s, i])(Subscript[s, j])+(Subscript[μ, 2,3])(Subscript[w, i])(Subscript[s, j])+(Subscript[μ, 2,4])(Subscript[l, i]) (Subscript[s, j])+(Subscript[μ, 3,1])(Subscript[w, j])+ (Subscript[μ, 3,2])(Subscript[s, i])(Subscript[w, j])+(Subscript[μ, 3,3])(Subscript[w, i])(Subscript[w, j])+(Subscript[μ, 3,4])(Subscript[l, i]) (Subscript[w, j])+(Subscript[μ, 4,1])(Subscript[l, j])+ (Subscript[μ, 4,2])(Subscript[s, i])(Subscript[l, j])+(Subscript[μ, 4,3])(Subscript[w, i])(Subscript[l, j])+(Subscript[μ, 4,4])(Subscript[l, i])(Subscript[l, j])
(Subscript[(OverBar[R]), i_,j_]):=(Subscript[(OverBar[μ]), 1,1])+ (Subscript[(OverBar[μ]), 1,2])(Subscript[s, i])+(Subscript[(OverBar[μ]), 1,3])(Subscript[w, i])+(Subscript[(OverBar[μ]), 1,4])(Subscript[l, i]) +(Subscript[(OverBar[μ]), 2,1])(Subscript[s, j])+ (Subscript[(OverBar[μ]), 2,2])(Subscript[s, i])(Subscript[s, j])+(Subscript[(OverBar[μ]), 2,3])(Subscript[w, i])(Subscript[s, j])+(Subscript[(OverBar[μ]), 2,4])(Subscript[l, i]) (Subscript[s, j])+(Subscript[(OverBar[μ]), 3,1])(Subscript[w, j])+ (Subscript[(OverBar[μ]), 3,2])(Subscript[s, i])(Subscript[w, j])+(Subscript[(OverBar[μ]), 3,3])(Subscript[w, i])(Subscript[w, j])+(Subscript[(OverBar[μ]), 3,4])(Subscript[l, i]) (Subscript[w, j])+(Subscript[(OverBar[μ]), 4,1])(Subscript[l, j])+ (Subscript[(OverBar[μ]), 4,2])(Subscript[s, i])(Subscript[l, j])+(Subscript[(OverBar[μ]), 4,3])(Subscript[w, i])(Subscript[l, j])+(Subscript[(OverBar[μ]), 4,4])(Subscript[l, i])(Subscript[l, j])
(*We also implement the element ν :*)
(Subscript[ν, i_]):=(Subscript[R, 1,3])(Subscript[(OverBar[κ]), 2])//(Subscript[m, 1,2->1])//(Subscript[m, 1,3->i])
(Subscript[(OverBar[ν]), i_]):=(Subscript[(OverBar[R]), 3,1])(Subscript[(OverBar[κ]), 2])//(Subscript[m, 1,2->1])//(Subscript[m, 1,3->i])

(*By the previous lemma, we simply set the values of the bar variables: *)
{(Subscript[(OverBar[λ]), 1]),(Subscript[(OverBar[λ]), 2]),(Subscript[(OverBar[λ]), 3]),(Subscript[(OverBar[λ]), 4])}={((Subscript[λ, 1])/((Subscript[λ, 1]^2)-(Subscript[λ, 2]^2))),-((Subscript[λ, 2])/((Subscript[λ, 1]^2)-(Subscript[λ, 2]^2))),-((Subscript[λ, 3])/((Subscript[λ, 1]^2)-(Subscript[λ, 2]^2))),-((Subscript[λ, 4])/((Subscript[λ, 1]^2)-(Subscript[λ, 2]^2)))};
rulesRinv={(Subscript[(OverBar[μ]), 1,1])->-((-(Subscript[μ, 1,1]^3)+(Subscript[μ, 1,1]) (Subscript[μ, 1,2]^2)+(Subscript[μ, 1,1]) (Subscript[μ, 2,1]^2)-2 (Subscript[μ, 1,2]) (Subscript[μ, 2,1]) (Subscript[μ, 2,2])+(Subscript[μ, 1,1]) (Subscript[μ, 2,2]^2))/((Subscript[μ, 1,1]^4)-2 (Subscript[μ, 1,1]^2) (Subscript[μ, 1,2]^2)+(Subscript[μ, 1,2]^4)-2 (Subscript[μ, 1,1]^2) (Subscript[μ, 2,1]^2)-2 (Subscript[μ, 1,2]^2) (Subscript[μ, 2,1]^2)+(Subscript[μ, 2,1]^4)+8 (Subscript[μ, 1,1]) (Subscript[μ, 1,2]) (Subscript[μ, 2,1]) (Subscript[μ, 2,2])-2 (Subscript[μ, 1,1]^2) (Subscript[μ, 2,2]^2)-2 (Subscript[μ, 1,2]^2) (Subscript[μ, 2,2]^2)-2 (Subscript[μ, 2,1]^2) (Subscript[μ, 2,2]^2)+(Subscript[μ, 2,2]^4))),(Subscript[(OverBar[μ]), 1,2])->-(((Subscript[μ, 1,1]^2) (Subscript[μ, 1,2])-(Subscript[μ, 1,2]^3)+(Subscript[μ, 1,2]) (Subscript[μ, 2,1]^2)-2 (Subscript[μ, 1,1]) (Subscript[μ, 2,1]) (Subscript[μ, 2,2])+(Subscript[μ, 1,2]) (Subscript[μ, 2,2]^2))/((Subscript[μ, 1,1]^4)-2 (Subscript[μ, 1,1]^2) (Subscript[μ, 1,2]^2)+(Subscript[μ, 1,2]^4)-2 (Subscript[μ, 1,1]^2) (Subscript[μ, 2,1]^2)-2 (Subscript[μ, 1,2]^2) (Subscript[μ, 2,1]^2)+(Subscript[μ, 2,1]^4)+8 (Subscript[μ, 1,1]) (Subscript[μ, 1,2]) (Subscript[μ, 2,1]) (Subscript[μ, 2,2])-2 (Subscript[μ, 1,1]^2) (Subscript[μ, 2,2]^2)-2 (Subscript[μ, 1,2]^2) (Subscript[μ, 2,2]^2)-2 (Subscript[μ, 2,1]^2) (Subscript[μ, 2,2]^2)+(Subscript[μ, 2,2]^4))),(Subscript[(OverBar[μ]), 1,3])->-(((Subscript[μ, 1,1]^2) (Subscript[μ, 1,3])-(Subscript[μ, 1,2]^2) (Subscript[μ, 1,3])+(Subscript[μ, 1,3]) (Subscript[μ, 2,1]^2)-(Subscript[μ, 1,3]) (Subscript[μ, 2,2]^2)-2 (Subscript[μ, 1,1]) (Subscript[μ, 2,1]) (Subscript[μ, 2,3])+2 (Subscript[μ, 1,2]) (Subscript[μ, 2,2]) (Subscript[μ, 2,3]))/((Subscript[μ, 1,1]^4)-2 (Subscript[μ, 1,1]^2) (Subscript[μ, 1,2]^2)+(Subscript[μ, 1,2]^4)-2 (Subscript[μ, 1,1]^2) (Subscript[μ, 2,1]^2)-2 (Subscript[μ, 1,2]^2) (Subscript[μ, 2,1]^2)+(Subscript[μ, 2,1]^4)+8 (Subscript[μ, 1,1]) (Subscript[μ, 1,2]) (Subscript[μ, 2,1]) (Subscript[μ, 2,2])-2 (Subscript[μ, 1,1]^2) (Subscript[μ, 2,2]^2)-2 (Subscript[μ, 1,2]^2) (Subscript[μ, 2,2]^2)-2 (Subscript[μ, 2,1]^2) (Subscript[μ, 2,2]^2)+(Subscript[μ, 2,2]^4))),(Subscript[(OverBar[μ]), 1,4])->-(((Subscript[μ, 1,1]^2) (Subscript[μ, 1,4])-(Subscript[μ, 1,2]^2) (Subscript[μ, 1,4])+(Subscript[μ, 1,4]) (Subscript[μ, 2,1]^2)-(Subscript[μ, 1,4]) (Subscript[μ, 2,2]^2)-2 (Subscript[μ, 1,1]) (Subscript[μ, 2,1]) (Subscript[μ, 2,4])+2 (Subscript[μ, 1,2]) (Subscript[μ, 2,2]) (Subscript[μ, 2,4]))/((Subscript[μ, 1,1]^4)-2 (Subscript[μ, 1,1]^2) (Subscript[μ, 1,2]^2)+(Subscript[μ, 1,2]^4)-2 (Subscript[μ, 1,1]^2) (Subscript[μ, 2,1]^2)-2 (Subscript[μ, 1,2]^2) (Subscript[μ, 2,1]^2)+(Subscript[μ, 2,1]^4)+8 (Subscript[μ, 1,1]) (Subscript[μ, 1,2]) (Subscript[μ, 2,1]) (Subscript[μ, 2,2])-2 (Subscript[μ, 1,1]^2) (Subscript[μ, 2,2]^2)-2 (Subscript[μ, 1,2]^2) (Subscript[μ, 2,2]^2)-2 (Subscript[μ, 2,1]^2) (Subscript[μ, 2,2]^2)+(Subscript[μ, 2,2]^4))),(Subscript[(OverBar[μ]), 2,1])->-(((Subscript[μ, 1,1]^2) (Subscript[μ, 2,1])+(Subscript[μ, 1,2]^2) (Subscript[μ, 2,1])-(Subscript[μ, 2,1]^3)-2 (Subscript[μ, 1,1]) (Subscript[μ, 1,2]) (Subscript[μ, 2,2])+(Subscript[μ, 2,1]) (Subscript[μ, 2,2]^2))/((Subscript[μ, 1,1]^4)-2 (Subscript[μ, 1,1]^2) (Subscript[μ, 1,2]^2)+(Subscript[μ, 1,2]^4)-2 (Subscript[μ, 1,1]^2) (Subscript[μ, 2,1]^2)-2 (Subscript[μ, 1,2]^2) (Subscript[μ, 2,1]^2)+(Subscript[μ, 2,1]^4)+8 (Subscript[μ, 1,1]) (Subscript[μ, 1,2]) (Subscript[μ, 2,1]) (Subscript[μ, 2,2])-2 (Subscript[μ, 1,1]^2) (Subscript[μ, 2,2]^2)-2 (Subscript[μ, 1,2]^2) (Subscript[μ, 2,2]^2)-2 (Subscript[μ, 2,1]^2) (Subscript[μ, 2,2]^2)+(Subscript[μ, 2,2]^4))),(Subscript[(OverBar[μ]), 2,2])->-((-2 (Subscript[μ, 1,1]) (Subscript[μ, 1,2]) (Subscript[μ, 2,1])+(Subscript[μ, 1,1]^2) (Subscript[μ, 2,2])+(Subscript[μ, 1,2]^2) (Subscript[μ, 2,2])+(Subscript[μ, 2,1]^2) (Subscript[μ, 2,2])-(Subscript[μ, 2,2]^3))/((Subscript[μ, 1,1]^4)-2 (Subscript[μ, 1,1]^2) (Subscript[μ, 1,2]^2)+(Subscript[μ, 1,2]^4)-2 (Subscript[μ, 1,1]^2) (Subscript[μ, 2,1]^2)-2 (Subscript[μ, 1,2]^2) (Subscript[μ, 2,1]^2)+(Subscript[μ, 2,1]^4)+8 (Subscript[μ, 1,1]) (Subscript[μ, 1,2]) (Subscript[μ, 2,1]) (Subscript[μ, 2,2])-2 (Subscript[μ, 1,1]^2) (Subscript[μ, 2,2]^2)-2 (Subscript[μ, 1,2]^2) (Subscript[μ, 2,2]^2)-2 (Subscript[μ, 2,1]^2) (Subscript[μ, 2,2]^2)+(Subscript[μ, 2,2]^4))),(Subscript[(OverBar[μ]), 2,3])->-((-2 (Subscript[μ, 1,1]) (Subscript[μ, 1,3]) (Subscript[μ, 2,1])+2 (Subscript[μ, 1,2]) (Subscript[μ, 1,3]) (Subscript[μ, 2,2])+(Subscript[μ, 1,1]^2) (Subscript[μ, 2,3])-(Subscript[μ, 1,2]^2) (Subscript[μ, 2,3])+(Subscript[μ, 2,1]^2) (Subscript[μ, 2,3])-(Subscript[μ, 2,2]^2) (Subscript[μ, 2,3]))/((Subscript[μ, 1,1]^4)-2 (Subscript[μ, 1,1]^2) (Subscript[μ, 1,2]^2)+(Subscript[μ, 1,2]^4)-2 (Subscript[μ, 1,1]^2) (Subscript[μ, 2,1]^2)-2 (Subscript[μ, 1,2]^2) (Subscript[μ, 2,1]^2)+(Subscript[μ, 2,1]^4)+8 (Subscript[μ, 1,1]) (Subscript[μ, 1,2]) (Subscript[μ, 2,1]) (Subscript[μ, 2,2])-2 (Subscript[μ, 1,1]^2) (Subscript[μ, 2,2]^2)-2 (Subscript[μ, 1,2]^2) (Subscript[μ, 2,2]^2)-2 (Subscript[μ, 2,1]^2) (Subscript[μ, 2,2]^2)+(Subscript[μ, 2,2]^4))),(Subscript[(OverBar[μ]), 2,4])->-((-2 (Subscript[μ, 1,1]) (Subscript[μ, 1,4]) (Subscript[μ, 2,1])+2 (Subscript[μ, 1,2]) (Subscript[μ, 1,4]) (Subscript[μ, 2,2])+(Subscript[μ, 1,1]^2) (Subscript[μ, 2,4])-(Subscript[μ, 1,2]^2) (Subscript[μ, 2,4])+(Subscript[μ, 2,1]^2) (Subscript[μ, 2,4])-(Subscript[μ, 2,2]^2) (Subscript[μ, 2,4]))/((Subscript[μ, 1,1]^4)-2 (Subscript[μ, 1,1]^2) (Subscript[μ, 1,2]^2)+(Subscript[μ, 1,2]^4)-2 (Subscript[μ, 1,1]^2) (Subscript[μ, 2,1]^2)-2 (Subscript[μ, 1,2]^2) (Subscript[μ, 2,1]^2)+(Subscript[μ, 2,1]^4)+8 (Subscript[μ, 1,1]) (Subscript[μ, 1,2]) (Subscript[μ, 2,1]) (Subscript[μ, 2,2])-2 (Subscript[μ, 1,1]^2) (Subscript[μ, 2,2]^2)-2 (Subscript[μ, 1,2]^2) (Subscript[μ, 2,2]^2)-2 (Subscript[μ, 2,1]^2) (Subscript[μ, 2,2]^2)+(Subscript[μ, 2,2]^4))),(Subscript[(OverBar[μ]), 3,1])->-(((Subscript[μ, 1,1]^2) (Subscript[μ, 3,1])+(Subscript[μ, 1,2]^2) (Subscript[μ, 3,1])-(Subscript[μ, 2,1]^2) (Subscript[μ, 3,1])-(Subscript[μ, 2,2]^2) (Subscript[μ, 3,1])-2 (Subscript[μ, 1,1]) (Subscript[μ, 1,2]) (Subscript[μ, 3,2])+2 (Subscript[μ, 2,1]) (Subscript[μ, 2,2]) (Subscript[μ, 3,2]))/((Subscript[μ, 1,1]^4)-2 (Subscript[μ, 1,1]^2) (Subscript[μ, 1,2]^2)+(Subscript[μ, 1,2]^4)-2 (Subscript[μ, 1,1]^2) (Subscript[μ, 2,1]^2)-2 (Subscript[μ, 1,2]^2) (Subscript[μ, 2,1]^2)+(Subscript[μ, 2,1]^4)+8 (Subscript[μ, 1,1]) (Subscript[μ, 1,2]) (Subscript[μ, 2,1]) (Subscript[μ, 2,2])-2 (Subscript[μ, 1,1]^2) (Subscript[μ, 2,2]^2)-2 (Subscript[μ, 1,2]^2) (Subscript[μ, 2,2]^2)-2 (Subscript[μ, 2,1]^2) (Subscript[μ, 2,2]^2)+(Subscript[μ, 2,2]^4))),(Subscript[(OverBar[μ]), 3,2])->-((-2 (Subscript[μ, 1,1]) (Subscript[μ, 1,2]) (Subscript[μ, 3,1])+2 (Subscript[μ, 2,1]) (Subscript[μ, 2,2]) (Subscript[μ, 3,1])+(Subscript[μ, 1,1]^2) (Subscript[μ, 3,2])+(Subscript[μ, 1,2]^2) (Subscript[μ, 3,2])-(Subscript[μ, 2,1]^2) (Subscript[μ, 3,2])-(Subscript[μ, 2,2]^2) (Subscript[μ, 3,2]))/((Subscript[μ, 1,1]^4)-2 (Subscript[μ, 1,1]^2) (Subscript[μ, 1,2]^2)+(Subscript[μ, 1,2]^4)-2 (Subscript[μ, 1,1]^2) (Subscript[μ, 2,1]^2)-2 (Subscript[μ, 1,2]^2) (Subscript[μ, 2,1]^2)+(Subscript[μ, 2,1]^4)+8 (Subscript[μ, 1,1]) (Subscript[μ, 1,2]) (Subscript[μ, 2,1]) (Subscript[μ, 2,2])-2 (Subscript[μ, 1,1]^2) (Subscript[μ, 2,2]^2)-2 (Subscript[μ, 1,2]^2) (Subscript[μ, 2,2]^2)-2 (Subscript[μ, 2,1]^2) (Subscript[μ, 2,2]^2)+(Subscript[μ, 2,2]^4))),(Subscript[(OverBar[μ]), 3,3])->-((-2 (Subscript[μ, 1,1]) (Subscript[μ, 1,3]) (Subscript[μ, 3,1])+2 (Subscript[μ, 2,1]) (Subscript[μ, 2,3]) (Subscript[μ, 3,1])+2 (Subscript[μ, 1,2]) (Subscript[μ, 1,3]) (Subscript[μ, 3,2])-2 (Subscript[μ, 2,2]) (Subscript[μ, 2,3]) (Subscript[μ, 3,2])+(Subscript[μ, 1,1]^2) (Subscript[μ, 3,3])-(Subscript[μ, 1,2]^2) (Subscript[μ, 3,3])-(Subscript[μ, 2,1]^2) (Subscript[μ, 3,3])+(Subscript[μ, 2,2]^2) (Subscript[μ, 3,3])+2 (Subscript[μ, 1,4]) (Subscript[μ, 2,2]) (Subscript[μ, 4,1])-2 (Subscript[μ, 1,2]) (Subscript[μ, 2,4]) (Subscript[μ, 4,1])-2 (Subscript[μ, 1,4]) (Subscript[μ, 2,1]) (Subscript[μ, 4,2])+2 (Subscript[μ, 1,1]) (Subscript[μ, 2,4]) (Subscript[μ, 4,2])+2 (Subscript[μ, 1,2]) (Subscript[μ, 2,1]) (Subscript[μ, 4,4])-2 (Subscript[μ, 1,1]) (Subscript[μ, 2,2]) (Subscript[μ, 4,4]))/((Subscript[μ, 1,1]^4)-2 (Subscript[μ, 1,1]^2) (Subscript[μ, 1,2]^2)+(Subscript[μ, 1,2]^4)-2 (Subscript[μ, 1,1]^2) (Subscript[μ, 2,1]^2)-2 (Subscript[μ, 1,2]^2) (Subscript[μ, 2,1]^2)+(Subscript[μ, 2,1]^4)+8 (Subscript[μ, 1,1]) (Subscript[μ, 1,2]) (Subscript[μ, 2,1]) (Subscript[μ, 2,2])-2 (Subscript[μ, 1,1]^2) (Subscript[μ, 2,2]^2)-2 (Subscript[μ, 1,2]^2) (Subscript[μ, 2,2]^2)-2 (Subscript[μ, 2,1]^2) (Subscript[μ, 2,2]^2)+(Subscript[μ, 2,2]^4))),(Subscript[(OverBar[μ]), 3,4])->-((-2 (Subscript[μ, 1,1]) (Subscript[μ, 1,4]) (Subscript[μ, 3,1])+2 (Subscript[μ, 2,1]) (Subscript[μ, 2,4]) (Subscript[μ, 3,1])+2 (Subscript[μ, 1,2]) (Subscript[μ, 1,4]) (Subscript[μ, 3,2])-2 (Subscript[μ, 2,2]) (Subscript[μ, 2,4]) (Subscript[μ, 3,2])+(Subscript[μ, 1,1]^2) (Subscript[μ, 3,4])-(Subscript[μ, 1,2]^2) (Subscript[μ, 3,4])-(Subscript[μ, 2,1]^2) (Subscript[μ, 3,4])+(Subscript[μ, 2,2]^2) (Subscript[μ, 3,4])+2 (Subscript[μ, 1,3]) (Subscript[μ, 2,2]) (Subscript[μ, 4,1])-2 (Subscript[μ, 1,2]) (Subscript[μ, 2,3]) (Subscript[μ, 4,1])-2 (Subscript[μ, 1,3]) (Subscript[μ, 2,1]) (Subscript[μ, 4,2])+2 (Subscript[μ, 1,1]) (Subscript[μ, 2,3]) (Subscript[μ, 4,2])+2 (Subscript[μ, 1,2]) (Subscript[μ, 2,1]) (Subscript[μ, 4,3])-2 (Subscript[μ, 1,1]) (Subscript[μ, 2,2]) (Subscript[μ, 4,3]))/((Subscript[μ, 1,1]^4)-2 (Subscript[μ, 1,1]^2) (Subscript[μ, 1,2]^2)+(Subscript[μ, 1,2]^4)-2 (Subscript[μ, 1,1]^2) (Subscript[μ, 2,1]^2)-2 (Subscript[μ, 1,2]^2) (Subscript[μ, 2,1]^2)+(Subscript[μ, 2,1]^4)+8 (Subscript[μ, 1,1]) (Subscript[μ, 1,2]) (Subscript[μ, 2,1]) (Subscript[μ, 2,2])-2 (Subscript[μ, 1,1]^2) (Subscript[μ, 2,2]^2)-2 (Subscript[μ, 1,2]^2) (Subscript[μ, 2,2]^2)-2 (Subscript[μ, 2,1]^2) (Subscript[μ, 2,2]^2)+(Subscript[μ, 2,2]^4))),(Subscript[(OverBar[μ]), 4,1])->-(((Subscript[μ, 1,1]^2) (Subscript[μ, 4,1])+(Subscript[μ, 1,2]^2) (Subscript[μ, 4,1])-(Subscript[μ, 2,1]^2) (Subscript[μ, 4,1])-(Subscript[μ, 2,2]^2) (Subscript[μ, 4,1])-2 (Subscript[μ, 1,1]) (Subscript[μ, 1,2]) (Subscript[μ, 4,2])+2 (Subscript[μ, 2,1]) (Subscript[μ, 2,2]) (Subscript[μ, 4,2]))/((Subscript[μ, 1,1]^4)-2 (Subscript[μ, 1,1]^2) (Subscript[μ, 1,2]^2)+(Subscript[μ, 1,2]^4)-2 (Subscript[μ, 1,1]^2) (Subscript[μ, 2,1]^2)-2 (Subscript[μ, 1,2]^2) (Subscript[μ, 2,1]^2)+(Subscript[μ, 2,1]^4)+8 (Subscript[μ, 1,1]) (Subscript[μ, 1,2]) (Subscript[μ, 2,1]) (Subscript[μ, 2,2])-2 (Subscript[μ, 1,1]^2) (Subscript[μ, 2,2]^2)-2 (Subscript[μ, 1,2]^2) (Subscript[μ, 2,2]^2)-2 (Subscript[μ, 2,1]^2) (Subscript[μ, 2,2]^2)+(Subscript[μ, 2,2]^4))),(Subscript[(OverBar[μ]), 4,2])->-((-2 (Subscript[μ, 1,1]) (Subscript[μ, 1,2]) (Subscript[μ, 4,1])+2 (Subscript[μ, 2,1]) (Subscript[μ, 2,2]) (Subscript[μ, 4,1])+(Subscript[μ, 1,1]^2) (Subscript[μ, 4,2])+(Subscript[μ, 1,2]^2) (Subscript[μ, 4,2])-(Subscript[μ, 2,1]^2) (Subscript[μ, 4,2])-(Subscript[μ, 2,2]^2) (Subscript[μ, 4,2]))/((Subscript[μ, 1,1]^4)-2 (Subscript[μ, 1,1]^2) (Subscript[μ, 1,2]^2)+(Subscript[μ, 1,2]^4)-2 (Subscript[μ, 1,1]^2) (Subscript[μ, 2,1]^2)-2 (Subscript[μ, 1,2]^2) (Subscript[μ, 2,1]^2)+(Subscript[μ, 2,1]^4)+8 (Subscript[μ, 1,1]) (Subscript[μ, 1,2]) (Subscript[μ, 2,1]) (Subscript[μ, 2,2])-2 (Subscript[μ, 1,1]^2) (Subscript[μ, 2,2]^2)-2 (Subscript[μ, 1,2]^2) (Subscript[μ, 2,2]^2)-2 (Subscript[μ, 2,1]^2) (Subscript[μ, 2,2]^2)+(Subscript[μ, 2,2]^4))),(Subscript[(OverBar[μ]), 4,3])->-((2 (Subscript[μ, 1,4]) (Subscript[μ, 2,2]) (Subscript[μ, 3,1])-2 (Subscript[μ, 1,2]) (Subscript[μ, 2,4]) (Subscript[μ, 3,1])-2 (Subscript[μ, 1,4]) (Subscript[μ, 2,1]) (Subscript[μ, 3,2])+2 (Subscript[μ, 1,1]) (Subscript[μ, 2,4]) (Subscript[μ, 3,2])+2 (Subscript[μ, 1,2]) (Subscript[μ, 2,1]) (Subscript[μ, 3,4])-2 (Subscript[μ, 1,1]) (Subscript[μ, 2,2]) (Subscript[μ, 3,4])-2 (Subscript[μ, 1,1]) (Subscript[μ, 1,3]) (Subscript[μ, 4,1])+2 (Subscript[μ, 2,1]) (Subscript[μ, 2,3]) (Subscript[μ, 4,1])+2 (Subscript[μ, 1,2]) (Subscript[μ, 1,3]) (Subscript[μ, 4,2])-2 (Subscript[μ, 2,2]) (Subscript[μ, 2,3]) (Subscript[μ, 4,2])+(Subscript[μ, 1,1]^2) (Subscript[μ, 4,3])-(Subscript[μ, 1,2]^2) (Subscript[μ, 4,3])-(Subscript[μ, 2,1]^2) (Subscript[μ, 4,3])+(Subscript[μ, 2,2]^2) (Subscript[μ, 4,3]))/((Subscript[μ, 1,1]^4)-2 (Subscript[μ, 1,1]^2) (Subscript[μ, 1,2]^2)+(Subscript[μ, 1,2]^4)-2 (Subscript[μ, 1,1]^2) (Subscript[μ, 2,1]^2)-2 (Subscript[μ, 1,2]^2) (Subscript[μ, 2,1]^2)+(Subscript[μ, 2,1]^4)+8 (Subscript[μ, 1,1]) (Subscript[μ, 1,2]) (Subscript[μ, 2,1]) (Subscript[μ, 2,2])-2 (Subscript[μ, 1,1]^2) (Subscript[μ, 2,2]^2)-2 (Subscript[μ, 1,2]^2) (Subscript[μ, 2,2]^2)-2 (Subscript[μ, 2,1]^2) (Subscript[μ, 2,2]^2)+(Subscript[μ, 2,2]^4))),(Subscript[(OverBar[μ]), 4,4])->-((2 (Subscript[μ, 1,3]) (Subscript[μ, 2,2]) (Subscript[μ, 3,1])-2 (Subscript[μ, 1,2]) (Subscript[μ, 2,3]) (Subscript[μ, 3,1])-2 (Subscript[μ, 1,3]) (Subscript[μ, 2,1]) (Subscript[μ, 3,2])+2 (Subscript[μ, 1,1]) (Subscript[μ, 2,3]) (Subscript[μ, 3,2])+2 (Subscript[μ, 1,2]) (Subscript[μ, 2,1]) (Subscript[μ, 3,3])-2 (Subscript[μ, 1,1]) (Subscript[μ, 2,2]) (Subscript[μ, 3,3])-2 (Subscript[μ, 1,1]) (Subscript[μ, 1,4]) (Subscript[μ, 4,1])+2 (Subscript[μ, 2,1]) (Subscript[μ, 2,4]) (Subscript[μ, 4,1])+2 (Subscript[μ, 1,2]) (Subscript[μ, 1,4]) (Subscript[μ, 4,2])-2 (Subscript[μ, 2,2]) (Subscript[μ, 2,4]) (Subscript[μ, 4,2])+(Subscript[μ, 1,1]^2) (Subscript[μ, 4,4])-(Subscript[μ, 1,2]^2) (Subscript[μ, 4,4])-(Subscript[μ, 2,1]^2) (Subscript[μ, 4,4])+(Subscript[μ, 2,2]^2) (Subscript[μ, 4,4]))/((Subscript[μ, 1,1]^4)-2 (Subscript[μ, 1,1]^2) (Subscript[μ, 1,2]^2)+(Subscript[μ, 1,2]^4)-2 (Subscript[μ, 1,1]^2) (Subscript[μ, 2,1]^2)-2 (Subscript[μ, 1,2]^2) (Subscript[μ, 2,1]^2)+(Subscript[μ, 2,1]^4)+8 (Subscript[μ, 1,1]) (Subscript[μ, 1,2]) (Subscript[μ, 2,1]) (Subscript[μ, 2,2])-2 (Subscript[μ, 1,1]^2) (Subscript[μ, 2,2]^2)-2 (Subscript[μ, 1,2]^2) (Subscript[μ, 2,2]^2)-2 (Subscript[μ, 2,1]^2) (Subscript[μ, 2,2]^2)+(Subscript[μ, 2,2]^4)))};
Scan[Set@@#&,rulesRinv]

A={2 (Subscript[λ, 2]) ((Subscript[μ, 2,4])-(Subscript[μ, 4,2])),-2 (Subscript[λ, 2]) ((Subscript[μ, 2,3])-(Subscript[μ, 3,2])),-2 (Subscript[λ, 1]) (Subscript[λ, 2]) (-2 (Subscript[λ, 3]) (Subscript[μ, 4,2])+(Subscript[λ, 2]) ((Subscript[μ, 3,4])+(Subscript[μ, 4,3]))),-2 (Subscript[λ, 2]^2) ((Subscript[μ, 3,2]) (Subscript[μ, 4,1])-(Subscript[μ, 3,1]) (Subscript[μ, 4,2])),-2 (Subscript[λ, 2]) ((Subscript[μ, 2,2]) (Subscript[μ, 4,1])-(Subscript[μ, 2,1]) (Subscript[μ, 4,2])),-2 (Subscript[λ, 1]) (Subscript[λ, 2]^2) (-2 (Subscript[μ, 3,2]) (Subscript[μ, 4,2])+(Subscript[μ, 2,2]) ((Subscript[μ, 3,4])+(Subscript[μ, 4,3]))),2 (Subscript[λ, 1]) (Subscript[λ, 2]^2) (-2 (Subscript[μ, 3,1]) (Subscript[μ, 4,2])+(Subscript[μ, 2,1]) ((Subscript[μ, 3,4])+(Subscript[μ, 4,3]))),2 (Subscript[λ, 1]) (Subscript[λ, 2]^2) (-2 (Subscript[μ, 1,3]) (Subscript[μ, 4,2])+(Subscript[μ, 1,2]) ((Subscript[μ, 3,4])+(Subscript[μ, 4,3]))),-4 (Subscript[λ, 1]^2) (Subscript[λ, 2]^2) ((Subscript[μ, 3,2]^2)+(Subscript[μ, 4,2]^2)-(Subscript[μ, 2,2]) ((Subscript[μ, 3,3])+(Subscript[μ, 4,4]))),-4 (Subscript[λ, 1]^2) (Subscript[λ, 2]^2) ((Subscript[μ, 3,1]) (Subscript[μ, 3,2])+(Subscript[μ, 4,1]) (Subscript[μ, 4,2])-(Subscript[μ, 2,1]) ((Subscript[μ, 3,3])+(Subscript[μ, 4,4]))),-2 (Subscript[λ, 2]^2) ((Subscript[μ, 1,4]) (Subscript[μ, 3,2])-(Subscript[μ, 1,3]) (Subscript[μ, 4,2])),-4 (Subscript[λ, 1]^2) (Subscript[λ, 2]^2) ((Subscript[μ, 1,3]) (Subscript[μ, 3,2])+(Subscript[μ, 1,4]) (Subscript[μ, 4,2])-(Subscript[μ, 1,2]) ((Subscript[μ, 3,3])+(Subscript[μ, 4,4]))),-2 (Subscript[λ, 1]) (Subscript[λ, 2]) (-2 (Subscript[λ, 4]) (Subscript[μ, 3,2])+(Subscript[λ, 2]) ((Subscript[μ, 3,4])+(Subscript[μ, 4,3]))),4 (Subscript[λ, 1]^2) (Subscript[λ, 2]) ((Subscript[λ, 3]) (Subscript[μ, 3,2])+(Subscript[λ, 4]) (Subscript[μ, 4,2])-(Subscript[λ, 2]) ((Subscript[μ, 3,3])+(Subscript[μ, 4,4]))),-2 (Subscript[λ, 2]) ((Subscript[μ, 2,2]) (Subscript[μ, 3,1])-(Subscript[μ, 2,1]) (Subscript[μ, 3,2])),-2 (Subscript[λ, 2]^2) ((Subscript[μ, 1,4]) (Subscript[μ, 3,1])-(Subscript[μ, 1,3]) (Subscript[μ, 4,1])),-2 (Subscript[λ, 2]) ((Subscript[λ, 4]) (Subscript[μ, 3,1])-(Subscript[λ, 3]) (Subscript[μ, 4,1])),-2 (Subscript[λ, 2]) ((Subscript[μ, 1,4]) (Subscript[μ, 2,2])-(Subscript[μ, 1,2]) (Subscript[μ, 4,2])),-2 (Subscript[λ, 2]) ((Subscript[μ, 1,3]) (Subscript[μ, 2,2])-(Subscript[μ, 1,2]) (Subscript[μ, 3,2])),2 (Subscript[λ, 4]) (Subscript[μ, 2,2])-2 (Subscript[λ, 2]) (Subscript[μ, 4,2]),2 (Subscript[λ, 3]) (Subscript[μ, 2,2])-2 (Subscript[λ, 2]) (Subscript[μ, 3,2]),-2 (Subscript[λ, 2]) ((Subscript[μ, 1,4]) (Subscript[μ, 2,1])-(Subscript[μ, 1,2]) (Subscript[μ, 4,1])),-2 (Subscript[λ, 2]) ((Subscript[μ, 1,3]) (Subscript[μ, 2,1])-(Subscript[μ, 1,2]) (Subscript[μ, 3,1])),2 (Subscript[λ, 4]) (Subscript[μ, 2,1])-2 (Subscript[λ, 2]) (Subscript[μ, 4,1]),-2 (Subscript[λ, 3]) (Subscript[μ, 2,1])+2 (Subscript[λ, 2]) (Subscript[μ, 3,1]),-2 (Subscript[λ, 2]) ((Subscript[λ, 4]) (Subscript[μ, 1,3])-(Subscript[λ, 3]) (Subscript[μ, 1,4])),2 (Subscript[λ, 4]) (Subscript[μ, 1,2])-2 (Subscript[λ, 2]) (Subscript[μ, 1,4]),-2 (Subscript[λ, 3]) (Subscript[μ, 1,2])+2 (Subscript[λ, 2]) (Subscript[μ, 1,3]),-2 (Subscript[λ, 1]^2) (Subscript[λ, 2]) (2 (Subscript[λ, 4]) (Subscript[μ, 4,2]^2)+(Subscript[λ, 2]) ((Subscript[μ, 3,2]) ((Subscript[μ, 3,4])+(Subscript[μ, 4,3]))-2 (Subscript[μ, 4,2]) ((Subscript[μ, 3,3])+(Subscript[μ, 4,4])))),2 (Subscript[λ, 1]^2) (Subscript[λ, 2]) (2 (Subscript[λ, 4]) (Subscript[μ, 4,1]) (Subscript[μ, 4,2])+(Subscript[λ, 2]) ((Subscript[μ, 3,1]) ((Subscript[μ, 3,4])+(Subscript[μ, 4,3]))-2 (Subscript[μ, 4,1]) ((Subscript[μ, 3,3])+(Subscript[μ, 4,4])))),2 (Subscript[λ, 1]^2) (Subscript[λ, 2]) (2 (Subscript[λ, 4]) (Subscript[μ, 1,4]) (Subscript[μ, 4,2])+(Subscript[λ, 2]) ((Subscript[μ, 1,3]) ((Subscript[μ, 3,4])+(Subscript[μ, 4,3]))-2 (Subscript[μ, 1,4]) ((Subscript[μ, 3,3])+(Subscript[μ, 4,4])))),-2 (Subscript[λ, 1]^2) (Subscript[λ, 2]) (2 (Subscript[λ, 4]^2) (Subscript[μ, 4,2])+(Subscript[λ, 2]) ((Subscript[λ, 3]) ((Subscript[μ, 3,4])+(Subscript[μ, 4,3]))-2 (Subscript[λ, 4]) ((Subscript[μ, 3,3])+(Subscript[μ, 4,4])))),4 (Subscript[λ, 1]^2) (Subscript[λ, 2]^2) (-(((Subscript[μ, 3,1]^2)+(Subscript[μ, 4,1]^2)) (Subscript[μ, 4,2]))+(Subscript[μ, 2,1]) (Subscript[μ, 4,1]) ((Subscript[μ, 3,3])+(Subscript[μ, 4,4]))),4 (Subscript[λ, 1]^2) (Subscript[λ, 2]^2) (-(((Subscript[μ, 1,3]) (Subscript[μ, 3,1])+(Subscript[μ, 1,4]) (Subscript[μ, 4,1])) (Subscript[μ, 4,2]))+(Subscript[μ, 1,2]) (Subscript[μ, 4,1]) ((Subscript[μ, 3,3])+(Subscript[μ, 4,4]))),-2 (Subscript[λ, 1]^2) (Subscript[λ, 2]^3) ((Subscript[μ, 3,1]^2) ((Subscript[μ, 3,4])+(Subscript[μ, 4,3]))+(Subscript[μ, 4,1]^2) ((Subscript[μ, 3,4])+(Subscript[μ, 4,3]))-2 (Subscript[μ, 3,1]) (Subscript[μ, 4,1]) ((Subscript[μ, 3,3])+(Subscript[μ, 4,4]))),2 (Subscript[λ, 1]^2) (Subscript[λ, 2]^4) ((Subscript[μ, 1,4]) (Subscript[μ, 4,1]) ((Subscript[μ, 3,4])+(Subscript[μ, 4,3]))+(Subscript[μ, 1,3]) ((Subscript[μ, 3,1]) ((Subscript[μ, 3,4])+(Subscript[μ, 4,3]))-2 (Subscript[μ, 4,1]) ((Subscript[μ, 3,3])+(Subscript[μ, 4,4])))),2 (Subscript[λ, 1]^2) (Subscript[λ, 2]^3) ((Subscript[λ, 4]) (Subscript[μ, 4,1]) ((Subscript[μ, 3,4])+(Subscript[μ, 4,3]))+(Subscript[λ, 3]) ((Subscript[μ, 3,1]) ((Subscript[μ, 3,4])+(Subscript[μ, 4,3]))-2 (Subscript[μ, 4,1]) ((Subscript[μ, 3,3])+(Subscript[μ, 4,4])))),2 (Subscript[λ, 1]^2) (Subscript[λ, 2]^3) ((Subscript[μ, 1,3]^2) ((Subscript[μ, 3,4])+(Subscript[μ, 4,3]))+(Subscript[μ, 1,4]^2) ((Subscript[μ, 3,4])+(Subscript[μ, 4,3]))-2 (Subscript[μ, 1,3]) (Subscript[μ, 1,4]) ((Subscript[μ, 3,3])+(Subscript[μ, 4,4]))),4 (Subscript[λ, 1]^2) (Subscript[λ, 2]^2) (-(((Subscript[μ, 1,3]^2)+(Subscript[μ, 1,4]^2)) (Subscript[μ, 4,2]))+(Subscript[μ, 1,2]) (Subscript[μ, 1,4]) ((Subscript[μ, 3,3])+(Subscript[μ, 4,4]))),2 (Subscript[λ, 1]^2) (Subscript[λ, 2]^3) (-(Subscript[λ, 4]) (Subscript[μ, 1,4]) ((Subscript[μ, 3,4])+(Subscript[μ, 4,3]))+(Subscript[λ, 3]) (-(Subscript[μ, 1,3]) ((Subscript[μ, 3,4])+(Subscript[μ, 4,3]))+2 (Subscript[μ, 1,4]) ((Subscript[μ, 3,3])+(Subscript[μ, 4,4])))),2 (Subscript[λ, 1]^2) (Subscript[λ, 2]^2) ((Subscript[λ, 3]^2) ((Subscript[μ, 3,4])+(Subscript[μ, 4,3]))+(Subscript[λ, 4]^2) ((Subscript[μ, 3,4])+(Subscript[μ, 4,3]))-2 (Subscript[λ, 3]) (Subscript[λ, 4]) ((Subscript[μ, 3,3])+(Subscript[μ, 4,4])))};

(*We start by the first case ((Subscript[R, 1,2])(Subscript[R, 4,3])//(Subscript[m, 1,4->1]))-((Subscript[R, 1,2])(Subscript[R, 4,3])//(Subscript[m, 4,1->1]))*)

vari={(Subscript[s, 1]),(Subscript[s, 2]),(Subscript[s, 3]),(Subscript[w, 1]),(Subscript[w, 2]),(Subscript[w, 3]),(Subscript[l, 1]),(Subscript[l, 2]),(Subscript[l, 3])};
variL={"(Subscript[s, 1])","(Subscript[s, 2])","(Subscript[s, 3])","(Subscript[w, 1])","(Subscript[w, 2])","(Subscript[w, 3])","(Subscript[l, 1])","(Subscript[l, 2])","(Subscript[l, 3])"};
p=((Subscript[R, 1,2])(Subscript[R, 4,3])//(Subscript[m, 1,4->1]))-((Subscript[R, 1,2])(Subscript[R, 4,3])//(Subscript[m, 4,1->1]));
cr=CoefficientRules[p,vari];
convert[{v___Integer}]:=StringJoin@Pick[variL,{v},1];
list=(convert[First[#]]->Last[#])&/@cr

(*We need to check that the coefficients corresponding with monomials that have no two copies of w,l vanish. We start by listing them*)

Select[list,With[{lhs=#1[[1]]},ws=StringCount[lhs,"w"];
ls=StringCount[lhs,"l"];
ws<2&&ls<2&&(ws<1||ls<1)]&]
equaciones=%[[All,2]]

(PolynomialReduce[#,A,{(Subscript[λ, 3]),(Subscript[λ, 4]) ,(Subscript[μ, 1,1]),(Subscript[μ, 1,2]),(Subscript[μ, 1,3]),(Subscript[μ, 1,4]),(Subscript[μ, 2,1]),(Subscript[μ, 2,2]),(Subscript[μ, 2,3]), (Subscript[μ, 2,4]) ,(Subscript[μ, 3,1]), (Subscript[μ, 3,2]),(Subscript[μ, 3,3]),(Subscript[μ, 3,4]), (Subscript[μ, 4,1]),(Subscript[μ, 4,2]), (Subscript[μ, 4,3]), (Subscript[μ, 4,4])}]&/@equaciones)//Simplify

(*If (Subscript[λ, 2])!= 0, then I can express these coefficients as a combination of things of A, which are zero, and I conclude. If  (Subscript[λ, 2])= 0, observe *)

A/.{(Subscript[λ, 2])->0}//Simplify

(*ie either (a) (Subscript[λ, 2])= (Subscript[λ, 3]) = (Subscript[λ, 4])=0 or (b) (Subscript[μ, 1,2])= (Subscript[μ, 2,1])=(Subscript[μ, 2,2])=0 , and then since R invertible (Subscript[μ, 1,1]) !=0*)

(*We start with case (a):*)

(*(Subscript[λ, 2])=0;(Subscript[λ, 3])=0;(Subscript[λ, 4])=0;*)
eqns1={};
vari={(Subscript[s, 1]),(Subscript[s, 2]),(Subscript[s, 3]),(Subscript[w, 1]),(Subscript[w, 2]),(Subscript[w, 3]),(Subscript[l, 1]),(Subscript[l, 2]),(Subscript[l, 3])};
p=(((Subscript[R, 1,2])(Subscript[R, 4,3])(Subscript[R, 5,6])//(Subscript[m, 1,4->1])//(Subscript[m, 2,5->2])//(Subscript[m, 3,6->3]))-
((Subscript[R, 1,6])(Subscript[R, 2,3])(Subscript[R, 4,5])//(Subscript[m, 1,4->1])//(Subscript[m, 2,5->2])//(Subscript[m, 3,6->3])));
cr=CoefficientRules[p,vari];
eqns2=Join[eqns1,Thread[Values[cr]==0]];
vari={(Subscript[s, 1]),(Subscript[w, 1]),(Subscript[l, 1])};
p=((Subscript[R, 1,3])(Subscript[(OverBar[κ]), 2])//(Subscript[m, 1,2->1])//(Subscript[m, 1,3->1]))-((Subscript[R, 3,1])(Subscript[κ, 2])//(Subscript[m, 1,2->1])//(Subscript[m, 1,3->1]));
cr=CoefficientRules[p,vari];
eqns3=Join[eqns2,Thread[Values[cr]==0]];
vari={(Subscript[s, 1]),(Subscript[s, 2]),(Subscript[w, 1]),(Subscript[w, 2]),(Subscript[l, 1]),(Subscript[l, 2])};
p=(((Subscript[κ, 1])(Subscript[κ, 2])(Subscript[R, 3,4])(Subscript[(OverBar[κ]), 5])(Subscript[(OverBar[κ]), 6])//(Subscript[m, 1,3->1])//(Subscript[m, 1,5->1])//(Subscript[m, 2,4->2])//(Subscript[m, 2,6->2]))-(Subscript[R, 1,2]));
cr=CoefficientRules[p,vari];
eqns4=Join[eqns3,Thread[Values[cr]==0]];
vari={(Subscript[s, 1]),(Subscript[s, 2]),(Subscript[w, 1]),(Subscript[w, 2]),(Subscript[l, 1]),(Subscript[l, 2])};
p=(((Subscript[(OverBar[R]), 1,4])(Subscript[R, 3,2])(Subscript[κ, 6])//(Subscript[m, 1,3->1])//(Subscript[m, 2,6->2])//(Subscript[m, 2,4->2]))-(Subscript[κ, 2]));
cr=CoefficientRules[p,vari];
eqns5=Join[eqns4,Thread[Values[cr]==0]];

solutionslambda=Solve[(eqns5/.{(Subscript[λ, 2])->0,(Subscript[λ, 3])->0,(Subscript[λ, 4])->0}),{(Subscript[λ, 1]),(Subscript[μ, 1,1]),(Subscript[μ, 1,2]),(Subscript[μ, 1,3]),(Subscript[μ, 1,4]),(Subscript[μ, 2,1]),(Subscript[μ, 2,2]),(Subscript[μ, 2,3]), (Subscript[μ, 2,4]) ,(Subscript[μ, 3,1]), (Subscript[μ, 3,2]),(Subscript[μ, 3,3]),(Subscript[μ, 3,4]), (Subscript[μ, 4,1]),(Subscript[μ, 4,2]), (Subscript[μ, 4,3]), (Subscript[μ, 4,4])}]

(*For all cases, the coefficients are zero:*)

equaciones/.solutionslambda/.{(Subscript[λ, 2])->0,(Subscript[λ, 3])->0,(Subscript[λ, 4])->0}

(*Now case (b):*)

eqns1={};
vari={(Subscript[s, 1]),(Subscript[s, 2]),(Subscript[s, 3]),(Subscript[w, 1]),(Subscript[w, 2]),(Subscript[w, 3]),(Subscript[l, 1]),(Subscript[l, 2]),(Subscript[l, 3])};
p=(((Subscript[R, 1,2])(Subscript[R, 4,3])(Subscript[R, 5,6])//(Subscript[m, 1,4->1])//(Subscript[m, 2,5->2])//(Subscript[m, 3,6->3]))-
((Subscript[R, 1,6])(Subscript[R, 2,3])(Subscript[R, 4,5])//(Subscript[m, 1,4->1])//(Subscript[m, 2,5->2])//(Subscript[m, 3,6->3])));
cr=CoefficientRules[p,vari];
eqns2=Join[eqns1,Thread[Values[cr]==0]];
vari={(Subscript[s, 1]),(Subscript[w, 1]),(Subscript[l, 1])};
p=((Subscript[R, 1,3])(Subscript[(OverBar[κ]), 2])//(Subscript[m, 1,2->1])//(Subscript[m, 1,3->1]))-((Subscript[R, 3,1])(Subscript[κ, 2])//(Subscript[m, 1,2->1])//(Subscript[m, 1,3->1]));
cr=CoefficientRules[p,vari];
eqns3=Join[eqns2,Thread[Values[cr]==0]];
vari={(Subscript[s, 1]),(Subscript[s, 2]),(Subscript[w, 1]),(Subscript[w, 2]),(Subscript[l, 1]),(Subscript[l, 2])};
p=(((Subscript[κ, 1])(Subscript[κ, 2])(Subscript[R, 3,4])(Subscript[(OverBar[κ]), 5])(Subscript[(OverBar[κ]), 6])//(Subscript[m, 1,3->1])//(Subscript[m, 1,5->1])//(Subscript[m, 2,4->2])//(Subscript[m, 2,6->2]))-(Subscript[R, 1,2]));
cr=CoefficientRules[p,vari];
eqns4=Join[eqns3,Thread[Values[cr]==0]];
vari={(Subscript[s, 1]),(Subscript[s, 2]),(Subscript[w, 1]),(Subscript[w, 2]),(Subscript[l, 1]),(Subscript[l, 2])};
p=(((Subscript[(OverBar[R]), 1,4])(Subscript[R, 3,2])(Subscript[κ, 6])//(Subscript[m, 1,3->1])//(Subscript[m, 2,6->2])//(Subscript[m, 2,4->2]))-(Subscript[κ, 2]));
cr=CoefficientRules[p,vari];
eqns5=Join[eqns4,Thread[Values[cr]==0]];

solutionsmu=Solve[eqns5/.{(Subscript[μ, 1,2])->0, (Subscript[μ, 2,1])->0, (Subscript[μ, 2,2])->0},{(Subscript[λ, 1]),(Subscript[λ, 2]),(Subscript[λ, 3]),(Subscript[λ, 4]),(Subscript[μ, 1,1]),(Subscript[μ, 1,3]),(Subscript[μ, 1,4]),(Subscript[μ, 2,3]), (Subscript[μ, 2,4]) ,(Subscript[μ, 3,1]), (Subscript[μ, 3,2]),(Subscript[μ, 3,3]),(Subscript[μ, 3,4]), (Subscript[μ, 4,1]),(Subscript[μ, 4,2]), (Subscript[μ, 4,3]), (Subscript[μ, 4,4])}]

(*We again have a finite number of cases. For all of them, the coefficients are zero:*)

equaciones/.solutionsmu/.{(Subscript[μ, 1,2])->0, (Subscript[μ, 2,1])->0, (Subscript[μ, 2,2])->0}

Finally, we do it for the 12 cases at once. We clear out denominators when using the inverse R-matrix.

denomin=(Subscript[μ, 1,1]^4)+(Subscript[μ, 1,2]^4)+8 (Subscript[μ, 1,1]) (Subscript[μ, 1,2]) (Subscript[μ, 2,1]) (Subscript[μ, 2,2])+((((Subscript[μ, 2,1]^2)-(Subscript[μ, 2,2]^2)))^2)-2 (Subscript[μ, 1,2]^2) ((Subscript[μ, 2,1]^2)+(Subscript[μ, 2,2]^2))-2 (Subscript[μ, 1,1]^2) ((Subscript[μ, 1,2]^2)+(Subscript[μ, 2,1]^2)+(Subscript[μ, 2,2]^2));
vari={(Subscript[s, 1]),(Subscript[s, 2]),(Subscript[s, 3]),(Subscript[w, 1]),(Subscript[w, 2]),(Subscript[w, 3]),(Subscript[l, 1]),(Subscript[l, 2]),(Subscript[l, 3])};
variL={"(Subscript[s, 1])","(Subscript[s, 2])","(Subscript[s, 3])","(Subscript[w, 1])","(Subscript[w, 2])","(Subscript[w, 3])","(Subscript[l, 1])","(Subscript[l, 2])","(Subscript[l, 3])"};
cases={((Subscript[R, 1,2])(Subscript[R, 4,3])//(Subscript[m, 1,4->1]))-((Subscript[R, 1,2])(Subscript[R, 4,3])//(Subscript[m, 4,1->1])), ((Subscript[R, 1,2])(Subscript[R, 4,3])//(Subscript[m, 1,4->1]))-((Subscript[R, 1,2])(Subscript[R, 4,3])//(Subscript[m, 4,1->1])),((Subscript[R, 2,1])(Subscript[R, 4,3])//(Subscript[m, 1,4->1]))-((Subscript[R, 2,1])(Subscript[R, 4,3])//(Subscript[m, 4,1->1])),((Subscript[R, 2,1])(Subscript[R, 3,4])//(Subscript[m, 1,4->1]))-((Subscript[R, 2,1])(Subscript[R, 3,4])//(Subscript[m, 4,1->1])),   denomin(((Subscript[(OverBar[R]), 1,2])(Subscript[R, 4,3])//(Subscript[m, 1,4->1]))-((Subscript[(OverBar[R]), 1,2])(Subscript[R, 4,3])//(Subscript[m, 4,1->1]))), denomin(((Subscript[(OverBar[R]), 1,2])(Subscript[R, 4,3])//(Subscript[m, 1,4->1]))-((Subscript[(OverBar[R]), 1,2])(Subscript[R, 4,3])//(Subscript[m, 4,1->1]))),denomin(((Subscript[(OverBar[R]), 2,1])(Subscript[R, 4,3])//(Subscript[m, 1,4->1]))-((Subscript[(OverBar[R]), 2,1])(Subscript[R, 4,3])//(Subscript[m, 4,1->1]))),denomin(((Subscript[(OverBar[R]), 2,1])(Subscript[R, 3,4])//(Subscript[m, 1,4->1]))-((Subscript[(OverBar[R]), 2,1])(Subscript[R, 3,4])//(Subscript[m, 4,1->1]))),(denomin^2)(((Subscript[(OverBar[R]), 1,2])(Subscript[(OverBar[R]), 4,3])//(Subscript[m, 1,4->1]))-((Subscript[(OverBar[R]), 1,2])(Subscript[(OverBar[R]), 4,3])//(Subscript[m, 4,1->1]))), (denomin^2)(((Subscript[(OverBar[R]), 1,2])(Subscript[(OverBar[R]), 4,3])//(Subscript[m, 1,4->1]))-((Subscript[(OverBar[R]), 1,2])(Subscript[(OverBar[R]), 4,3])//(Subscript[m, 4,1->1]))),(denomin^2)(((Subscript[(OverBar[R]), 2,1])(Subscript[(OverBar[R]), 4,3])//(Subscript[m, 1,4->1]))-((Subscript[(OverBar[R]), 2,1])(Subscript[(OverBar[R]), 4,3])//(Subscript[m, 4,1->1]))),(denomin^2)(((Subscript[(OverBar[R]), 2,1])(Subscript[(OverBar[R]), 3,4])//(Subscript[m, 1,4->1]))-((Subscript[(OverBar[R]), 2,1])(Subscript[(OverBar[R]), 3,4])//(Subscript[m, 4,1->1])))}//Simplify;
cr=CoefficientRules[#,vari]&/@cases;
convert[{v___Integer}]:=StringJoin@Pick[variL,{v},1];
totallist=Map[(convert[First[#]]->Last[#])&,cr,{2}];

Select[#,With[{lhs=#1[[1]]},ws=StringCount[lhs,"w"];
ls=StringCount[lhs,"l"];
ws<2&&ls<2&&(ws<1||ls<1)]&]& /@totallist;
totalequaciones=  %[[All,All,2]]//Simplify;

Map[PolynomialReduce[#,A,{(Subscript[λ, 3]),(Subscript[λ, 4]) ,(Subscript[μ, 1,1]),(Subscript[μ, 1,2]),(Subscript[μ, 1,3]),(Subscript[μ, 1,4]),(Subscript[μ, 2,1]),(Subscript[μ, 2,2]),(Subscript[μ, 2,3]), (Subscript[μ, 2,4]) ,(Subscript[μ, 3,1]), (Subscript[μ, 3,2]),(Subscript[μ, 3,3]),(Subscript[μ, 3,4]), (Subscript[μ, 4,1]),(Subscript[μ, 4,2]), (Subscript[μ, 4,3]), (Subscript[μ, 4,4])}]&,totalequaciones,{2}]//Simplify

totalequaciones/.solutionslambda/.{(Subscript[λ, 2])->0,(Subscript[λ, 3])->0,(Subscript[λ, 4])->0}//Simplify

totalequaciones/.solutionsmu/.{(Subscript[μ, 1,2])->0, (Subscript[μ, 2,1])->0, (Subscript[μ, 2,2])->0}//Simplify