Proof of Lemma 3.8:

(*We establish the multiplication for SW. We set the variable l to be sw. The bar denotes inverse. *) 
vars={s,w,l};
(Subscript[m, i_,j_->k_])[Z_]:=Expand[Z]/.{(Subscript[s, i])(Subscript[s, j])->1,(Subscript[w, i])(Subscript[w, j])->0,(Subscript[s, i])(Subscript[w, j])->(Subscript[l, k]), (Subscript[w, i])(Subscript[s, j])->-(Subscript[l, k]),(Subscript[l, i])(Subscript[s, j])->-(Subscript[w, k]),(Subscript[s, i])(Subscript[l, j])->(Subscript[w, k]),(Subscript[l, i])(Subscript[w, j])->0,(Subscript[w, i])(Subscript[l, j])->0,(Subscript[l, i])(Subscript[l, j])->0, (Subscript[x_, i ])  /; MemberQ[vars,x]  :>(Subscript[x, k]),(Subscript[x_, j])/; MemberQ[vars,x]:>(Subscript[x, k])}

(*We start by x*)

(Subscript[x, i_]) := (Subscript[λ, 1])+(Subscript[λ, 2])(Subscript[s, i])+(Subscript[λ, 3])(Subscript[w, i])+(Subscript[λ, 4])(Subscript[l, i]);
(Subscript[(OverBar[x]), i_]):=  (Subscript[(OverBar[λ]), 1])+(Subscript[(OverBar[λ]), 2])(Subscript[s, i])+(Subscript[(OverBar[λ]), 3])(Subscript[w, i])+(Subscript[(OverBar[λ]), 4])(Subscript[l, i]);
p=((Subscript[x, 1])(Subscript[(OverBar[x]), 2])//(Subscript[m, 1,2->1]))-1;
vari={(Subscript[s, 1]),(Subscript[w, 1]),(Subscript[l, 1])};
cr=CoefficientRules[p,vari];
eqs=Thread[Values[cr]==0];
(*Computing the determinant of the matrix of the linear system*)
CoefficientArrays[eqs,{(Subscript[(OverBar[λ]), 1]),(Subscript[(OverBar[λ]), 2]),(Subscript[(OverBar[λ]), 3]),(Subscript[(OverBar[λ]), 4])}][[2]]//Normal//Det//Simplify

(*Solving the system*)
Solve[eqs,{(Subscript[(OverBar[λ]), 1]),(Subscript[(OverBar[λ]), 2]),(Subscript[(OverBar[λ]), 3]),(Subscript[(OverBar[λ]), 4])}]

(*Now similarly for Q*)
(Subscript[Q, i_,j_]):=(Subscript[μ, 1,1])+ (Subscript[μ, 1,2])(Subscript[s, i])+(Subscript[μ, 1,3])(Subscript[w, i])+(Subscript[μ, 1,4])(Subscript[l, i]) +(Subscript[μ, 2,1])(Subscript[s, j])+ (Subscript[μ, 2,2])(Subscript[s, i])(Subscript[s, j])+(Subscript[μ, 2,3])(Subscript[w, i])(Subscript[s, j])+(Subscript[μ, 2,4])(Subscript[l, i]) (Subscript[s, j])+(Subscript[μ, 3,1])(Subscript[w, j])+ (Subscript[μ, 3,2])(Subscript[s, i])(Subscript[w, j])+(Subscript[μ, 3,3])(Subscript[w, i])(Subscript[w, j])+(Subscript[μ, 3,4])(Subscript[l, i]) (Subscript[w, j])+(Subscript[μ, 4,1])(Subscript[l, j])+ (Subscript[μ, 4,2])(Subscript[s, i])(Subscript[l, j])+(Subscript[μ, 4,3])(Subscript[w, i])(Subscript[l, j])+(Subscript[μ, 4,4])(Subscript[l, i])(Subscript[l, j]);
(Subscript[(OverBar[Q]), i_,j_]):=(Subscript[(OverBar[μ]), 1,1])+ (Subscript[(OverBar[μ]), 1,2])(Subscript[s, i])+(Subscript[(OverBar[μ]), 1,3])(Subscript[w, i])+(Subscript[(OverBar[μ]), 1,4])(Subscript[l, i]) +(Subscript[(OverBar[μ]), 2,1])(Subscript[s, j])+ (Subscript[(OverBar[μ]), 2,2])(Subscript[s, i])(Subscript[s, j])+(Subscript[(OverBar[μ]), 2,3])(Subscript[w, i])(Subscript[s, j])+(Subscript[(OverBar[μ]), 2,4])(Subscript[l, i]) (Subscript[s, j])+(Subscript[(OverBar[μ]), 3,1])(Subscript[w, j])+ (Subscript[(OverBar[μ]), 3,2])(Subscript[s, i])(Subscript[w, j])+(Subscript[(OverBar[μ]), 3,3])(Subscript[w, i])(Subscript[w, j])+(Subscript[(OverBar[μ]), 3,4])(Subscript[l, i]) (Subscript[w, j])+(Subscript[(OverBar[μ]), 4,1])(Subscript[l, j])+ (Subscript[(OverBar[μ]), 4,2])(Subscript[s, i])(Subscript[l, j])+(Subscript[(OverBar[μ]), 4,3])(Subscript[w, i])(Subscript[l, j])+(Subscript[(OverBar[μ]), 4,4])(Subscript[l, i])(Subscript[l, j]);
vari={(Subscript[s, 1]),(Subscript[s, 2]),(Subscript[w, 1]),(Subscript[w, 2]),(Subscript[l, 1]),(Subscript[l, 2])};
p=((Subscript[(OverBar[Q]), 1,2])(Subscript[Q, 3,4])//(Subscript[m, 1,3->1])//(Subscript[m, 2,4->2]))-1;
cr=CoefficientRules[p,vari];
eqs=Thread[Values[cr]==0];
(*Computing the determinant of the matrix of the linear system*)
CoefficientArrays[eqs,{(Subscript[(OverBar[μ]), 1,1]), (Subscript[(OverBar[μ]), 1,2]), (Subscript[(OverBar[μ]), 1,3]), (Subscript[(OverBar[μ]), 1,4]),(Subscript[(OverBar[μ]), 2,1]), (Subscript[(OverBar[μ]), 2,2]), (Subscript[(OverBar[μ]), 2,3]), (Subscript[(OverBar[μ]), 2,4]),(Subscript[(OverBar[μ]), 3,1]), (Subscript[(OverBar[μ]), 3,2]), (Subscript[(OverBar[μ]), 3,3]), (Subscript[(OverBar[μ]), 3,4]),(Subscript[(OverBar[μ]), 4,1]), (Subscript[(OverBar[μ]), 4,2]), (Subscript[(OverBar[μ]), 4,3]), (Subscript[(OverBar[μ]), 4,4])}][[2]]//Normal//Det//Factor

(*Solving the system*)
Solve[eqs,{(Subscript[(OverBar[μ]), 1,1]), (Subscript[(OverBar[μ]), 1,2]), (Subscript[(OverBar[μ]), 1,3]), (Subscript[(OverBar[μ]), 1,4]),(Subscript[(OverBar[μ]), 2,1]), (Subscript[(OverBar[μ]), 2,2]), (Subscript[(OverBar[μ]), 2,3]), (Subscript[(OverBar[μ]), 2,4]),(Subscript[(OverBar[μ]), 3,1]), (Subscript[(OverBar[μ]), 3,2]), (Subscript[(OverBar[μ]), 3,3]), (Subscript[(OverBar[μ]), 3,4]),(Subscript[(OverBar[μ]), 4,1]), (Subscript[(OverBar[μ]), 4,2]), (Subscript[(OverBar[μ]), 4,3]), (Subscript[(OverBar[μ]), 4,4])}]