Examples:

(*We establish the multiplication for SW. We set the variable l to be sw. The bar denotes inverse. *) 
vars={s,w,l};
(Subscript[m, i_,j_->k_])[Z_]:=Expand[Z]/.{(Subscript[s, i])(Subscript[s, j])->1,(Subscript[w, i])(Subscript[w, j])->0,(Subscript[s, i])(Subscript[w, j])->(Subscript[l, k]), (Subscript[w, i])(Subscript[s, j])->-(Subscript[l, k]),(Subscript[l, i])(Subscript[s, j])->-(Subscript[w, k]),(Subscript[s, i])(Subscript[l, j])->(Subscript[w, k]),(Subscript[l, i])(Subscript[w, j])->0,(Subscript[w, i])(Subscript[l, j])->0,(Subscript[l, i])(Subscript[l, j])->0, (Subscript[x_, i ])  /; MemberQ[vars,x]  :>(Subscript[x, k]),(Subscript[x_, j])/; MemberQ[vars,x]:>(Subscript[x, k])}

(*We establish the multiplication for SW. We set the variable l to be sw. The bar denotes inverse. *) 
vars={s,w,l};
(Subscript[m, i_,j_->k_])[Z_]:=Expand[Z]/.{(Subscript[s, i])(Subscript[s, j])->1,(Subscript[w, i])(Subscript[w, j])->0,(Subscript[s, i])(Subscript[w, j])->(Subscript[l, k]), (Subscript[w, i])(Subscript[s, j])->-(Subscript[l, k]),(Subscript[l, i])(Subscript[s, j])->-(Subscript[w, k]),(Subscript[s, i])(Subscript[l, j])->(Subscript[w, k]),(Subscript[l, i])(Subscript[w, j])->0,(Subscript[w, i])(Subscript[l, j])->0,(Subscript[l, i])(Subscript[l, j])->0, (Subscript[x_, i ])  /; MemberQ[vars,x]  :>(Subscript[x, k]),(Subscript[x_, j])/; MemberQ[vars,x]:>(Subscript[x, k])}

(* We start by declaring the elements R and κ: *)
(Subscript[κ, i_]) := (Subscript[λ, 1])+(Subscript[λ, 2])(Subscript[s, i])+(Subscript[λ, 3])(Subscript[w, i])+(Subscript[λ, 4])(Subscript[l, i]);
(Subscript[(OverBar[κ]), i_]) :=  (Subscript[(OverBar[λ]), 1])+(Subscript[(OverBar[λ]), 2])(Subscript[s, i])+(Subscript[(OverBar[λ]), 3])(Subscript[w, i])+(Subscript[(OverBar[λ]), 4])(Subscript[l, i]);
(Subscript[R, i_,j_]):=(Subscript[μ, 1,1])+ (Subscript[μ, 1,2])(Subscript[s, i])+(Subscript[μ, 1,3])(Subscript[w, i])+(Subscript[μ, 1,4])(Subscript[l, i]) +(Subscript[μ, 2,1])(Subscript[s, j])+ (Subscript[μ, 2,2])(Subscript[s, i])(Subscript[s, j])+(Subscript[μ, 2,3])(Subscript[w, i])(Subscript[s, j])+(Subscript[μ, 2,4])(Subscript[l, i]) (Subscript[s, j])+(Subscript[μ, 3,1])(Subscript[w, j])+ (Subscript[μ, 3,2])(Subscript[s, i])(Subscript[w, j])+(Subscript[μ, 3,3])(Subscript[w, i])(Subscript[w, j])+(Subscript[μ, 3,4])(Subscript[l, i]) (Subscript[w, j])+(Subscript[μ, 4,1])(Subscript[l, j])+ (Subscript[μ, 4,2])(Subscript[s, i])(Subscript[l, j])+(Subscript[μ, 4,3])(Subscript[w, i])(Subscript[l, j])+(Subscript[μ, 4,4])(Subscript[l, i])(Subscript[l, j])
(Subscript[(OverBar[R]), i_,j_]):=(Subscript[(OverBar[μ]), 1,1])+ (Subscript[(OverBar[μ]), 1,2])(Subscript[s, i])+(Subscript[(OverBar[μ]), 1,3])(Subscript[w, i])+(Subscript[(OverBar[μ]), 1,4])(Subscript[l, i]) +(Subscript[(OverBar[μ]), 2,1])(Subscript[s, j])+ (Subscript[(OverBar[μ]), 2,2])(Subscript[s, i])(Subscript[s, j])+(Subscript[(OverBar[μ]), 2,3])(Subscript[w, i])(Subscript[s, j])+(Subscript[(OverBar[μ]), 2,4])(Subscript[l, i]) (Subscript[s, j])+(Subscript[(OverBar[μ]), 3,1])(Subscript[w, j])+ (Subscript[(OverBar[μ]), 3,2])(Subscript[s, i])(Subscript[w, j])+(Subscript[(OverBar[μ]), 3,3])(Subscript[w, i])(Subscript[w, j])+(Subscript[(OverBar[μ]), 3,4])(Subscript[l, i]) (Subscript[w, j])+(Subscript[(OverBar[μ]), 4,1])(Subscript[l, j])+ (Subscript[(OverBar[μ]), 4,2])(Subscript[s, i])(Subscript[l, j])+(Subscript[(OverBar[μ]), 4,3])(Subscript[w, i])(Subscript[l, j])+(Subscript[(OverBar[μ]), 4,4])(Subscript[l, i])(Subscript[l, j])
(*We also implement the element ν :*)
(Subscript[ν, i_]):=(Subscript[R, 1,3])(Subscript[(OverBar[κ]), 2])//(Subscript[m, 1,2->1])//(Subscript[m, 1,3->i])
(Subscript[(OverBar[ν]), i_]):=(Subscript[(OverBar[R]), 3,1])(Subscript[(OverBar[κ]), 2])//(Subscript[m, 1,2->1])//(Subscript[m, 1,3->i])

(*By the previous lemma, we simply set the values of the bar variables: *)
{(Subscript[(OverBar[λ]), 1]),(Subscript[(OverBar[λ]), 2]),(Subscript[(OverBar[λ]), 3]),(Subscript[(OverBar[λ]), 4])}={((Subscript[λ, 1])/((Subscript[λ, 1]^2)-(Subscript[λ, 2]^2))),-((Subscript[λ, 2])/((Subscript[λ, 1]^2)-(Subscript[λ, 2]^2))),-((Subscript[λ, 3])/((Subscript[λ, 1]^2)-(Subscript[λ, 2]^2))),-((Subscript[λ, 4])/((Subscript[λ, 1]^2)-(Subscript[λ, 2]^2)))};
rulesRinv={(Subscript[(OverBar[μ]), 1,1])->-((-(Subscript[μ, 1,1]^3)+(Subscript[μ, 1,1]) (Subscript[μ, 1,2]^2)+(Subscript[μ, 1,1]) (Subscript[μ, 2,1]^2)-2 (Subscript[μ, 1,2]) (Subscript[μ, 2,1]) (Subscript[μ, 2,2])+(Subscript[μ, 1,1]) (Subscript[μ, 2,2]^2))/((Subscript[μ, 1,1]^4)-2 (Subscript[μ, 1,1]^2) (Subscript[μ, 1,2]^2)+(Subscript[μ, 1,2]^4)-2 (Subscript[μ, 1,1]^2) (Subscript[μ, 2,1]^2)-2 (Subscript[μ, 1,2]^2) (Subscript[μ, 2,1]^2)+(Subscript[μ, 2,1]^4)+8 (Subscript[μ, 1,1]) (Subscript[μ, 1,2]) (Subscript[μ, 2,1]) (Subscript[μ, 2,2])-2 (Subscript[μ, 1,1]^2) (Subscript[μ, 2,2]^2)-2 (Subscript[μ, 1,2]^2) (Subscript[μ, 2,2]^2)-2 (Subscript[μ, 2,1]^2) (Subscript[μ, 2,2]^2)+(Subscript[μ, 2,2]^4))),(Subscript[(OverBar[μ]), 1,2])->-(((Subscript[μ, 1,1]^2) (Subscript[μ, 1,2])-(Subscript[μ, 1,2]^3)+(Subscript[μ, 1,2]) (Subscript[μ, 2,1]^2)-2 (Subscript[μ, 1,1]) (Subscript[μ, 2,1]) (Subscript[μ, 2,2])+(Subscript[μ, 1,2]) (Subscript[μ, 2,2]^2))/((Subscript[μ, 1,1]^4)-2 (Subscript[μ, 1,1]^2) (Subscript[μ, 1,2]^2)+(Subscript[μ, 1,2]^4)-2 (Subscript[μ, 1,1]^2) (Subscript[μ, 2,1]^2)-2 (Subscript[μ, 1,2]^2) (Subscript[μ, 2,1]^2)+(Subscript[μ, 2,1]^4)+8 (Subscript[μ, 1,1]) (Subscript[μ, 1,2]) (Subscript[μ, 2,1]) (Subscript[μ, 2,2])-2 (Subscript[μ, 1,1]^2) (Subscript[μ, 2,2]^2)-2 (Subscript[μ, 1,2]^2) (Subscript[μ, 2,2]^2)-2 (Subscript[μ, 2,1]^2) (Subscript[μ, 2,2]^2)+(Subscript[μ, 2,2]^4))),(Subscript[(OverBar[μ]), 1,3])->-(((Subscript[μ, 1,1]^2) (Subscript[μ, 1,3])-(Subscript[μ, 1,2]^2) (Subscript[μ, 1,3])+(Subscript[μ, 1,3]) (Subscript[μ, 2,1]^2)-(Subscript[μ, 1,3]) (Subscript[μ, 2,2]^2)-2 (Subscript[μ, 1,1]) (Subscript[μ, 2,1]) (Subscript[μ, 2,3])+2 (Subscript[μ, 1,2]) (Subscript[μ, 2,2]) (Subscript[μ, 2,3]))/((Subscript[μ, 1,1]^4)-2 (Subscript[μ, 1,1]^2) (Subscript[μ, 1,2]^2)+(Subscript[μ, 1,2]^4)-2 (Subscript[μ, 1,1]^2) (Subscript[μ, 2,1]^2)-2 (Subscript[μ, 1,2]^2) (Subscript[μ, 2,1]^2)+(Subscript[μ, 2,1]^4)+8 (Subscript[μ, 1,1]) (Subscript[μ, 1,2]) (Subscript[μ, 2,1]) (Subscript[μ, 2,2])-2 (Subscript[μ, 1,1]^2) (Subscript[μ, 2,2]^2)-2 (Subscript[μ, 1,2]^2) (Subscript[μ, 2,2]^2)-2 (Subscript[μ, 2,1]^2) (Subscript[μ, 2,2]^2)+(Subscript[μ, 2,2]^4))),(Subscript[(OverBar[μ]), 1,4])->-(((Subscript[μ, 1,1]^2) (Subscript[μ, 1,4])-(Subscript[μ, 1,2]^2) (Subscript[μ, 1,4])+(Subscript[μ, 1,4]) (Subscript[μ, 2,1]^2)-(Subscript[μ, 1,4]) (Subscript[μ, 2,2]^2)-2 (Subscript[μ, 1,1]) (Subscript[μ, 2,1]) (Subscript[μ, 2,4])+2 (Subscript[μ, 1,2]) (Subscript[μ, 2,2]) (Subscript[μ, 2,4]))/((Subscript[μ, 1,1]^4)-2 (Subscript[μ, 1,1]^2) (Subscript[μ, 1,2]^2)+(Subscript[μ, 1,2]^4)-2 (Subscript[μ, 1,1]^2) (Subscript[μ, 2,1]^2)-2 (Subscript[μ, 1,2]^2) (Subscript[μ, 2,1]^2)+(Subscript[μ, 2,1]^4)+8 (Subscript[μ, 1,1]) (Subscript[μ, 1,2]) (Subscript[μ, 2,1]) (Subscript[μ, 2,2])-2 (Subscript[μ, 1,1]^2) (Subscript[μ, 2,2]^2)-2 (Subscript[μ, 1,2]^2) (Subscript[μ, 2,2]^2)-2 (Subscript[μ, 2,1]^2) (Subscript[μ, 2,2]^2)+(Subscript[μ, 2,2]^4))),(Subscript[(OverBar[μ]), 2,1])->-(((Subscript[μ, 1,1]^2) (Subscript[μ, 2,1])+(Subscript[μ, 1,2]^2) (Subscript[μ, 2,1])-(Subscript[μ, 2,1]^3)-2 (Subscript[μ, 1,1]) (Subscript[μ, 1,2]) (Subscript[μ, 2,2])+(Subscript[μ, 2,1]) (Subscript[μ, 2,2]^2))/((Subscript[μ, 1,1]^4)-2 (Subscript[μ, 1,1]^2) (Subscript[μ, 1,2]^2)+(Subscript[μ, 1,2]^4)-2 (Subscript[μ, 1,1]^2) (Subscript[μ, 2,1]^2)-2 (Subscript[μ, 1,2]^2) (Subscript[μ, 2,1]^2)+(Subscript[μ, 2,1]^4)+8 (Subscript[μ, 1,1]) (Subscript[μ, 1,2]) (Subscript[μ, 2,1]) (Subscript[μ, 2,2])-2 (Subscript[μ, 1,1]^2) (Subscript[μ, 2,2]^2)-2 (Subscript[μ, 1,2]^2) (Subscript[μ, 2,2]^2)-2 (Subscript[μ, 2,1]^2) (Subscript[μ, 2,2]^2)+(Subscript[μ, 2,2]^4))),(Subscript[(OverBar[μ]), 2,2])->-((-2 (Subscript[μ, 1,1]) (Subscript[μ, 1,2]) (Subscript[μ, 2,1])+(Subscript[μ, 1,1]^2) (Subscript[μ, 2,2])+(Subscript[μ, 1,2]^2) (Subscript[μ, 2,2])+(Subscript[μ, 2,1]^2) (Subscript[μ, 2,2])-(Subscript[μ, 2,2]^3))/((Subscript[μ, 1,1]^4)-2 (Subscript[μ, 1,1]^2) (Subscript[μ, 1,2]^2)+(Subscript[μ, 1,2]^4)-2 (Subscript[μ, 1,1]^2) (Subscript[μ, 2,1]^2)-2 (Subscript[μ, 1,2]^2) (Subscript[μ, 2,1]^2)+(Subscript[μ, 2,1]^4)+8 (Subscript[μ, 1,1]) (Subscript[μ, 1,2]) (Subscript[μ, 2,1]) (Subscript[μ, 2,2])-2 (Subscript[μ, 1,1]^2) (Subscript[μ, 2,2]^2)-2 (Subscript[μ, 1,2]^2) (Subscript[μ, 2,2]^2)-2 (Subscript[μ, 2,1]^2) (Subscript[μ, 2,2]^2)+(Subscript[μ, 2,2]^4))),(Subscript[(OverBar[μ]), 2,3])->-((-2 (Subscript[μ, 1,1]) (Subscript[μ, 1,3]) (Subscript[μ, 2,1])+2 (Subscript[μ, 1,2]) (Subscript[μ, 1,3]) (Subscript[μ, 2,2])+(Subscript[μ, 1,1]^2) (Subscript[μ, 2,3])-(Subscript[μ, 1,2]^2) (Subscript[μ, 2,3])+(Subscript[μ, 2,1]^2) (Subscript[μ, 2,3])-(Subscript[μ, 2,2]^2) (Subscript[μ, 2,3]))/((Subscript[μ, 1,1]^4)-2 (Subscript[μ, 1,1]^2) (Subscript[μ, 1,2]^2)+(Subscript[μ, 1,2]^4)-2 (Subscript[μ, 1,1]^2) (Subscript[μ, 2,1]^2)-2 (Subscript[μ, 1,2]^2) (Subscript[μ, 2,1]^2)+(Subscript[μ, 2,1]^4)+8 (Subscript[μ, 1,1]) (Subscript[μ, 1,2]) (Subscript[μ, 2,1]) (Subscript[μ, 2,2])-2 (Subscript[μ, 1,1]^2) (Subscript[μ, 2,2]^2)-2 (Subscript[μ, 1,2]^2) (Subscript[μ, 2,2]^2)-2 (Subscript[μ, 2,1]^2) (Subscript[μ, 2,2]^2)+(Subscript[μ, 2,2]^4))),(Subscript[(OverBar[μ]), 2,4])->-((-2 (Subscript[μ, 1,1]) (Subscript[μ, 1,4]) (Subscript[μ, 2,1])+2 (Subscript[μ, 1,2]) (Subscript[μ, 1,4]) (Subscript[μ, 2,2])+(Subscript[μ, 1,1]^2) (Subscript[μ, 2,4])-(Subscript[μ, 1,2]^2) (Subscript[μ, 2,4])+(Subscript[μ, 2,1]^2) (Subscript[μ, 2,4])-(Subscript[μ, 2,2]^2) (Subscript[μ, 2,4]))/((Subscript[μ, 1,1]^4)-2 (Subscript[μ, 1,1]^2) (Subscript[μ, 1,2]^2)+(Subscript[μ, 1,2]^4)-2 (Subscript[μ, 1,1]^2) (Subscript[μ, 2,1]^2)-2 (Subscript[μ, 1,2]^2) (Subscript[μ, 2,1]^2)+(Subscript[μ, 2,1]^4)+8 (Subscript[μ, 1,1]) (Subscript[μ, 1,2]) (Subscript[μ, 2,1]) (Subscript[μ, 2,2])-2 (Subscript[μ, 1,1]^2) (Subscript[μ, 2,2]^2)-2 (Subscript[μ, 1,2]^2) (Subscript[μ, 2,2]^2)-2 (Subscript[μ, 2,1]^2) (Subscript[μ, 2,2]^2)+(Subscript[μ, 2,2]^4))),(Subscript[(OverBar[μ]), 3,1])->-(((Subscript[μ, 1,1]^2) (Subscript[μ, 3,1])+(Subscript[μ, 1,2]^2) (Subscript[μ, 3,1])-(Subscript[μ, 2,1]^2) (Subscript[μ, 3,1])-(Subscript[μ, 2,2]^2) (Subscript[μ, 3,1])-2 (Subscript[μ, 1,1]) (Subscript[μ, 1,2]) (Subscript[μ, 3,2])+2 (Subscript[μ, 2,1]) (Subscript[μ, 2,2]) (Subscript[μ, 3,2]))/((Subscript[μ, 1,1]^4)-2 (Subscript[μ, 1,1]^2) (Subscript[μ, 1,2]^2)+(Subscript[μ, 1,2]^4)-2 (Subscript[μ, 1,1]^2) (Subscript[μ, 2,1]^2)-2 (Subscript[μ, 1,2]^2) (Subscript[μ, 2,1]^2)+(Subscript[μ, 2,1]^4)+8 (Subscript[μ, 1,1]) (Subscript[μ, 1,2]) (Subscript[μ, 2,1]) (Subscript[μ, 2,2])-2 (Subscript[μ, 1,1]^2) (Subscript[μ, 2,2]^2)-2 (Subscript[μ, 1,2]^2) (Subscript[μ, 2,2]^2)-2 (Subscript[μ, 2,1]^2) (Subscript[μ, 2,2]^2)+(Subscript[μ, 2,2]^4))),(Subscript[(OverBar[μ]), 3,2])->-((-2 (Subscript[μ, 1,1]) (Subscript[μ, 1,2]) (Subscript[μ, 3,1])+2 (Subscript[μ, 2,1]) (Subscript[μ, 2,2]) (Subscript[μ, 3,1])+(Subscript[μ, 1,1]^2) (Subscript[μ, 3,2])+(Subscript[μ, 1,2]^2) (Subscript[μ, 3,2])-(Subscript[μ, 2,1]^2) (Subscript[μ, 3,2])-(Subscript[μ, 2,2]^2) (Subscript[μ, 3,2]))/((Subscript[μ, 1,1]^4)-2 (Subscript[μ, 1,1]^2) (Subscript[μ, 1,2]^2)+(Subscript[μ, 1,2]^4)-2 (Subscript[μ, 1,1]^2) (Subscript[μ, 2,1]^2)-2 (Subscript[μ, 1,2]^2) (Subscript[μ, 2,1]^2)+(Subscript[μ, 2,1]^4)+8 (Subscript[μ, 1,1]) (Subscript[μ, 1,2]) (Subscript[μ, 2,1]) (Subscript[μ, 2,2])-2 (Subscript[μ, 1,1]^2) (Subscript[μ, 2,2]^2)-2 (Subscript[μ, 1,2]^2) (Subscript[μ, 2,2]^2)-2 (Subscript[μ, 2,1]^2) (Subscript[μ, 2,2]^2)+(Subscript[μ, 2,2]^4))),(Subscript[(OverBar[μ]), 3,3])->-((-2 (Subscript[μ, 1,1]) (Subscript[μ, 1,3]) (Subscript[μ, 3,1])+2 (Subscript[μ, 2,1]) (Subscript[μ, 2,3]) (Subscript[μ, 3,1])+2 (Subscript[μ, 1,2]) (Subscript[μ, 1,3]) (Subscript[μ, 3,2])-2 (Subscript[μ, 2,2]) (Subscript[μ, 2,3]) (Subscript[μ, 3,2])+(Subscript[μ, 1,1]^2) (Subscript[μ, 3,3])-(Subscript[μ, 1,2]^2) (Subscript[μ, 3,3])-(Subscript[μ, 2,1]^2) (Subscript[μ, 3,3])+(Subscript[μ, 2,2]^2) (Subscript[μ, 3,3])+2 (Subscript[μ, 1,4]) (Subscript[μ, 2,2]) (Subscript[μ, 4,1])-2 (Subscript[μ, 1,2]) (Subscript[μ, 2,4]) (Subscript[μ, 4,1])-2 (Subscript[μ, 1,4]) (Subscript[μ, 2,1]) (Subscript[μ, 4,2])+2 (Subscript[μ, 1,1]) (Subscript[μ, 2,4]) (Subscript[μ, 4,2])+2 (Subscript[μ, 1,2]) (Subscript[μ, 2,1]) (Subscript[μ, 4,4])-2 (Subscript[μ, 1,1]) (Subscript[μ, 2,2]) (Subscript[μ, 4,4]))/((Subscript[μ, 1,1]^4)-2 (Subscript[μ, 1,1]^2) (Subscript[μ, 1,2]^2)+(Subscript[μ, 1,2]^4)-2 (Subscript[μ, 1,1]^2) (Subscript[μ, 2,1]^2)-2 (Subscript[μ, 1,2]^2) (Subscript[μ, 2,1]^2)+(Subscript[μ, 2,1]^4)+8 (Subscript[μ, 1,1]) (Subscript[μ, 1,2]) (Subscript[μ, 2,1]) (Subscript[μ, 2,2])-2 (Subscript[μ, 1,1]^2) (Subscript[μ, 2,2]^2)-2 (Subscript[μ, 1,2]^2) (Subscript[μ, 2,2]^2)-2 (Subscript[μ, 2,1]^2) (Subscript[μ, 2,2]^2)+(Subscript[μ, 2,2]^4))),(Subscript[(OverBar[μ]), 3,4])->-((-2 (Subscript[μ, 1,1]) (Subscript[μ, 1,4]) (Subscript[μ, 3,1])+2 (Subscript[μ, 2,1]) (Subscript[μ, 2,4]) (Subscript[μ, 3,1])+2 (Subscript[μ, 1,2]) (Subscript[μ, 1,4]) (Subscript[μ, 3,2])-2 (Subscript[μ, 2,2]) (Subscript[μ, 2,4]) (Subscript[μ, 3,2])+(Subscript[μ, 1,1]^2) (Subscript[μ, 3,4])-(Subscript[μ, 1,2]^2) (Subscript[μ, 3,4])-(Subscript[μ, 2,1]^2) (Subscript[μ, 3,4])+(Subscript[μ, 2,2]^2) (Subscript[μ, 3,4])+2 (Subscript[μ, 1,3]) (Subscript[μ, 2,2]) (Subscript[μ, 4,1])-2 (Subscript[μ, 1,2]) (Subscript[μ, 2,3]) (Subscript[μ, 4,1])-2 (Subscript[μ, 1,3]) (Subscript[μ, 2,1]) (Subscript[μ, 4,2])+2 (Subscript[μ, 1,1]) (Subscript[μ, 2,3]) (Subscript[μ, 4,2])+2 (Subscript[μ, 1,2]) (Subscript[μ, 2,1]) (Subscript[μ, 4,3])-2 (Subscript[μ, 1,1]) (Subscript[μ, 2,2]) (Subscript[μ, 4,3]))/((Subscript[μ, 1,1]^4)-2 (Subscript[μ, 1,1]^2) (Subscript[μ, 1,2]^2)+(Subscript[μ, 1,2]^4)-2 (Subscript[μ, 1,1]^2) (Subscript[μ, 2,1]^2)-2 (Subscript[μ, 1,2]^2) (Subscript[μ, 2,1]^2)+(Subscript[μ, 2,1]^4)+8 (Subscript[μ, 1,1]) (Subscript[μ, 1,2]) (Subscript[μ, 2,1]) (Subscript[μ, 2,2])-2 (Subscript[μ, 1,1]^2) (Subscript[μ, 2,2]^2)-2 (Subscript[μ, 1,2]^2) (Subscript[μ, 2,2]^2)-2 (Subscript[μ, 2,1]^2) (Subscript[μ, 2,2]^2)+(Subscript[μ, 2,2]^4))),(Subscript[(OverBar[μ]), 4,1])->-(((Subscript[μ, 1,1]^2) (Subscript[μ, 4,1])+(Subscript[μ, 1,2]^2) (Subscript[μ, 4,1])-(Subscript[μ, 2,1]^2) (Subscript[μ, 4,1])-(Subscript[μ, 2,2]^2) (Subscript[μ, 4,1])-2 (Subscript[μ, 1,1]) (Subscript[μ, 1,2]) (Subscript[μ, 4,2])+2 (Subscript[μ, 2,1]) (Subscript[μ, 2,2]) (Subscript[μ, 4,2]))/((Subscript[μ, 1,1]^4)-2 (Subscript[μ, 1,1]^2) (Subscript[μ, 1,2]^2)+(Subscript[μ, 1,2]^4)-2 (Subscript[μ, 1,1]^2) (Subscript[μ, 2,1]^2)-2 (Subscript[μ, 1,2]^2) (Subscript[μ, 2,1]^2)+(Subscript[μ, 2,1]^4)+8 (Subscript[μ, 1,1]) (Subscript[μ, 1,2]) (Subscript[μ, 2,1]) (Subscript[μ, 2,2])-2 (Subscript[μ, 1,1]^2) (Subscript[μ, 2,2]^2)-2 (Subscript[μ, 1,2]^2) (Subscript[μ, 2,2]^2)-2 (Subscript[μ, 2,1]^2) (Subscript[μ, 2,2]^2)+(Subscript[μ, 2,2]^4))),(Subscript[(OverBar[μ]), 4,2])->-((-2 (Subscript[μ, 1,1]) (Subscript[μ, 1,2]) (Subscript[μ, 4,1])+2 (Subscript[μ, 2,1]) (Subscript[μ, 2,2]) (Subscript[μ, 4,1])+(Subscript[μ, 1,1]^2) (Subscript[μ, 4,2])+(Subscript[μ, 1,2]^2) (Subscript[μ, 4,2])-(Subscript[μ, 2,1]^2) (Subscript[μ, 4,2])-(Subscript[μ, 2,2]^2) (Subscript[μ, 4,2]))/((Subscript[μ, 1,1]^4)-2 (Subscript[μ, 1,1]^2) (Subscript[μ, 1,2]^2)+(Subscript[μ, 1,2]^4)-2 (Subscript[μ, 1,1]^2) (Subscript[μ, 2,1]^2)-2 (Subscript[μ, 1,2]^2) (Subscript[μ, 2,1]^2)+(Subscript[μ, 2,1]^4)+8 (Subscript[μ, 1,1]) (Subscript[μ, 1,2]) (Subscript[μ, 2,1]) (Subscript[μ, 2,2])-2 (Subscript[μ, 1,1]^2) (Subscript[μ, 2,2]^2)-2 (Subscript[μ, 1,2]^2) (Subscript[μ, 2,2]^2)-2 (Subscript[μ, 2,1]^2) (Subscript[μ, 2,2]^2)+(Subscript[μ, 2,2]^4))),(Subscript[(OverBar[μ]), 4,3])->-((2 (Subscript[μ, 1,4]) (Subscript[μ, 2,2]) (Subscript[μ, 3,1])-2 (Subscript[μ, 1,2]) (Subscript[μ, 2,4]) (Subscript[μ, 3,1])-2 (Subscript[μ, 1,4]) (Subscript[μ, 2,1]) (Subscript[μ, 3,2])+2 (Subscript[μ, 1,1]) (Subscript[μ, 2,4]) (Subscript[μ, 3,2])+2 (Subscript[μ, 1,2]) (Subscript[μ, 2,1]) (Subscript[μ, 3,4])-2 (Subscript[μ, 1,1]) (Subscript[μ, 2,2]) (Subscript[μ, 3,4])-2 (Subscript[μ, 1,1]) (Subscript[μ, 1,3]) (Subscript[μ, 4,1])+2 (Subscript[μ, 2,1]) (Subscript[μ, 2,3]) (Subscript[μ, 4,1])+2 (Subscript[μ, 1,2]) (Subscript[μ, 1,3]) (Subscript[μ, 4,2])-2 (Subscript[μ, 2,2]) (Subscript[μ, 2,3]) (Subscript[μ, 4,2])+(Subscript[μ, 1,1]^2) (Subscript[μ, 4,3])-(Subscript[μ, 1,2]^2) (Subscript[μ, 4,3])-(Subscript[μ, 2,1]^2) (Subscript[μ, 4,3])+(Subscript[μ, 2,2]^2) (Subscript[μ, 4,3]))/((Subscript[μ, 1,1]^4)-2 (Subscript[μ, 1,1]^2) (Subscript[μ, 1,2]^2)+(Subscript[μ, 1,2]^4)-2 (Subscript[μ, 1,1]^2) (Subscript[μ, 2,1]^2)-2 (Subscript[μ, 1,2]^2) (Subscript[μ, 2,1]^2)+(Subscript[μ, 2,1]^4)+8 (Subscript[μ, 1,1]) (Subscript[μ, 1,2]) (Subscript[μ, 2,1]) (Subscript[μ, 2,2])-2 (Subscript[μ, 1,1]^2) (Subscript[μ, 2,2]^2)-2 (Subscript[μ, 1,2]^2) (Subscript[μ, 2,2]^2)-2 (Subscript[μ, 2,1]^2) (Subscript[μ, 2,2]^2)+(Subscript[μ, 2,2]^4))),(Subscript[(OverBar[μ]), 4,4])->-((2 (Subscript[μ, 1,3]) (Subscript[μ, 2,2]) (Subscript[μ, 3,1])-2 (Subscript[μ, 1,2]) (Subscript[μ, 2,3]) (Subscript[μ, 3,1])-2 (Subscript[μ, 1,3]) (Subscript[μ, 2,1]) (Subscript[μ, 3,2])+2 (Subscript[μ, 1,1]) (Subscript[μ, 2,3]) (Subscript[μ, 3,2])+2 (Subscript[μ, 1,2]) (Subscript[μ, 2,1]) (Subscript[μ, 3,3])-2 (Subscript[μ, 1,1]) (Subscript[μ, 2,2]) (Subscript[μ, 3,3])-2 (Subscript[μ, 1,1]) (Subscript[μ, 1,4]) (Subscript[μ, 4,1])+2 (Subscript[μ, 2,1]) (Subscript[μ, 2,4]) (Subscript[μ, 4,1])+2 (Subscript[μ, 1,2]) (Subscript[μ, 1,4]) (Subscript[μ, 4,2])-2 (Subscript[μ, 2,2]) (Subscript[μ, 2,4]) (Subscript[μ, 4,2])+(Subscript[μ, 1,1]^2) (Subscript[μ, 4,4])-(Subscript[μ, 1,2]^2) (Subscript[μ, 4,4])-(Subscript[μ, 2,1]^2) (Subscript[μ, 4,4])+(Subscript[μ, 2,2]^2) (Subscript[μ, 4,4]))/((Subscript[μ, 1,1]^4)-2 (Subscript[μ, 1,1]^2) (Subscript[μ, 1,2]^2)+(Subscript[μ, 1,2]^4)-2 (Subscript[μ, 1,1]^2) (Subscript[μ, 2,1]^2)-2 (Subscript[μ, 1,2]^2) (Subscript[μ, 2,1]^2)+(Subscript[μ, 2,1]^4)+8 (Subscript[μ, 1,1]) (Subscript[μ, 1,2]) (Subscript[μ, 2,1]) (Subscript[μ, 2,2])-2 (Subscript[μ, 1,1]^2) (Subscript[μ, 2,2]^2)-2 (Subscript[μ, 1,2]^2) (Subscript[μ, 2,2]^2)-2 (Subscript[μ, 2,1]^2) (Subscript[μ, 2,2]^2)+(Subscript[μ, 2,2]^4)))};
Scan[Set@@#&,rulesRinv]

(*To change from one test to another, please exit the kernel.*)

TEST 1:

(Subscript[μ, 1,3])=0; (Subscript[μ, 2,4])=1; (Subscript[μ, 3,1])=1; (Subscript[λ, 1])=0; (Subscript[μ, 4,4])=1; (Subscript[μ, 4,1])=1; (Subscript[λ, 2])=-1; (Subscript[λ, 3])=-1; (Subscript[λ, 4])=-1; (Subscript[μ, 1,2])=0; (Subscript[μ, 1,4])=0; (Subscript[μ, 2,1])=1; (Subscript[μ, 2,2])=1; (Subscript[μ, 2,3])=1; (Subscript[μ, 3,2])=1; (Subscript[μ, 3,3])=1; (Subscript[μ, 3,4])=1; (Subscript[μ, 4,2])=1; (Subscript[μ, 4,3])=1;

TEST 2:

(Subscript[λ, 1])=1; (Subscript[λ, 2])=0; (Subscript[λ, 3])=((2 (Subscript[μ, 2,3]))/(Subscript[μ, 1,1])); (Subscript[λ, 4])=-((2 (Subscript[μ, 2,3]))/(Subscript[μ, 1,1])); (Subscript[μ, 1,2])=0; (Subscript[μ, 2,1])=0; (Subscript[μ, 2,2])=0;  (Subscript[μ, 1,3])=-(Subscript[μ, 1,4]); (Subscript[μ, 2,4])=-(Subscript[μ, 2,3]); (Subscript[μ, 3,1])=(Subscript[μ, 1,4]); (Subscript[μ, 3,2])=-(Subscript[μ, 2,3]); (Subscript[μ, 4,1])=-(Subscript[μ, 1,4]); (Subscript[μ, 4,2])=(Subscript[μ, 2,3]); (Subscript[μ, 4,3])=((2 (Subscript[μ, 1,4]^2)-2 (Subscript[μ, 2,3]^2)-(Subscript[μ, 1,1]) (Subscript[μ, 3,4]))/(Subscript[μ, 1,1])); (Subscript[μ, 4,4])=((-2 (Subscript[μ, 1,4]^2)+2 (Subscript[μ, 2,3]^2)-(Subscript[μ, 1,1]) (Subscript[μ, 3,3]))/(Subscript[μ, 1,1]));

TEST 3:

(Subscript[λ, 1])=1; (Subscript[λ, 2])=0; (Subscript[μ, 1,2])=0; (Subscript[μ, 2,1])=0; (Subscript[μ, 2,2])=0; (Subscript[λ, 3])=((2 (Subscript[μ, 2,3]))/(Subscript[μ, 1,1])); (Subscript[λ, 4])=-((2 (Subscript[μ, 2,3]))/(Subscript[μ, 1,1])); (Subscript[μ, 1,3])=-(Subscript[μ, 1,4]); (Subscript[μ, 2,4])=-(Subscript[μ, 2,3]); (Subscript[μ, 3,1])=(Subscript[μ, 1,4]); (Subscript[μ, 3,2])=-(Subscript[μ, 2,3]); (Subscript[μ, 4,1])=-(Subscript[μ, 1,4]); (Subscript[μ, 4,2])=(Subscript[μ, 2,3]); (Subscript[μ, 4,3])=((2 (Subscript[μ, 1,4]^2)-2 (Subscript[μ, 2,3]^2)-(Subscript[μ, 1,1]) (Subscript[μ, 3,4]))/(Subscript[μ, 1,1])); (Subscript[μ, 4,4])=((-2 (Subscript[μ, 1,4]^2)+2 (Subscript[μ, 2,3]^2)-(Subscript[μ, 1,1]) (Subscript[μ, 3,3]))/(Subscript[μ, 1,1]));

Checking that each of these examples indeed defines an XC-structure on SW:

((Subscript[(OverBar[R]), 1,2])(Subscript[R, 3,4])//(Subscript[m, 1,3->1])//(Subscript[m, 2,4->2]))-1//Simplify
(((Subscript[R, 1,2])(Subscript[R, 4,3])(Subscript[R, 5,6])//(Subscript[m, 1,4->1])//(Subscript[m, 2,5->2])//(Subscript[m, 3,6->3]))-((Subscript[R, 1,6])(Subscript[R, 2,3])(Subscript[R, 4,5])//(Subscript[m, 1,4->1])//(Subscript[m, 2,5->2])//(Subscript[m, 3,6->3])))
(((Subscript[κ, 1])(Subscript[κ, 2])(Subscript[R, 3,4])(Subscript[(OverBar[κ]), 5])(Subscript[(OverBar[κ]), 6])//(Subscript[m, 1,3->1])//(Subscript[m, 1,5->1])//(Subscript[m, 2,4->2])//(Subscript[m, 2,6->2]))-(Subscript[R, 1,2]))//Simplify
(((Subscript[κ, 1])(Subscript[κ, 2])(Subscript[(OverBar[R]), 3,4])(Subscript[(OverBar[κ]), 5])(Subscript[(OverBar[κ]), 6])//(Subscript[m, 1,3->1])//(Subscript[m, 1,5->1])//(Subscript[m, 2,4->2])//(Subscript[m, 2,6->2]))-(Subscript[(OverBar[R]), 1,2]))//Simplify
(((Subscript[(OverBar[R]), 1,4])(Subscript[R, 3,2])(Subscript[κ, 6])//(Subscript[m, 1,3->1])//(Subscript[m, 2,6->2])//(Subscript[m, 2,4->2]))-(Subscript[κ, 2]))//Expand//Simplify
(((Subscript[(OverBar[R]), 5,1])(Subscript[R, 2,3])(Subscript[(OverBar[κ]), 4])//(Subscript[m, 1,3->1])//(Subscript[m, 2,4->2])//(Subscript[m, 2,5->2]))-(Subscript[(OverBar[κ]), 2]))//Expand//Simplify
((Subscript[κ, 1])(Subscript[(OverBar[κ]), 2])//(Subscript[m, 1,2->1]))-1//Simplify//Expand
(((Subscript[R, 1,3])(Subscript[(OverBar[κ]), 2])//(Subscript[m, 1,2->1])//(Subscript[m, 1,3->1]))-((Subscript[R, 3,1])(Subscript[κ, 2])//(Subscript[m, 1,2->1])//(Subscript[m, 1,3->1])))//Expand

Once[AppendTo[$Path,FileNameJoin[{"/Users/usename/.../MathematicaNotebooks/KnotTheory"}]];
<<KnotTheory` ; 
];

RVK::usage="RVK[xs, rots] represents a Rotational Virtual Knot with a list of n Xp/Xm crossings xs and a length 2n list of rotation numbers rots. Crossing sites are indexed 1 through 2n, and rots[[k]] is the rotation between site k-1 and site k. RVK is also a casting operator converting to the RVK presentation from other knot presentations.";

RVK[pd_PD]:=Module[{n,xs,x,rots,front={0},k},
n=Length@pd;rots=Table[0,{2n}];
xs=Cases[pd,x_X:>(Piecewise[{{Xp[x[[4]],x[[1]]], PositiveQ@x}, {Xm[x[[2]],x[[1]]], True}}])];
For[k=0,k<2n,++k,If[k==0∨FreeQ[front,-k],
front=Flatten@Replace[front,k->(xs/.{
Xp[k+1,l_]|Xm[l_,k+1]:>{l,k+1,1-l},
Xp[l_,k+1]|Xm[k+1,l_]:>(++rots[[l]];{1-l,k+1,l}),
_Xp|_Xm:>{}
}), {1}],
Cases[front,k|-k]/.{k,-k}:>--rots[[k+1]];
]];
RVK[xs,rots] ];
RVK[K_]:=RVK[PD[K]];

rot[i_,0]:=1;
rot[i_,n_]:=rot[i,n];
rot[i_,n_]:=Module[{j},
rot[i,n]=If[n>0,rot[i,n-1](Subscript[κ, j]),rot[i,n+1](Subscript[(OverBar[κ]), j])]//(Subscript[m, i,j->i])];

Width[pd_PD]:=Max[Length/@FoldList[Complement[#1⋃#2,#1⋂#2]&, {}, List@@List@@@pd]]

ThinPosition[K_]:=Module[{todo,done,pd,cc},
todo=List@@PD@K; done={}; pd=PD[];
While[todo=!={},
AppendTo[pd,cc=RandomChoice@MaximalBy[todo, Length[done⋂List@@#]&]];
todo=DeleteCases[todo,cc];
done=done⋃List@@cc];
pd ];
ThinPosition[K_,n_] := First@MinimalBy[Table[ThinPosition[K], n], Width];

Z[K_] := Z[RVK@ThinPosition[K,100]];
Z[rvk_RVK] := Monitor[ Module[{ζ,done,st,cc, χ,i,j,k},
ζ=1; done={}; st=Range[2Length[rvk[[1]]]]; $M={};
Do[AppendTo[$M,cc];
{i,j}=List@@cc;
χ=(cc/.{_Xp:>(Subscript[R, i,j])(Subscript[(OverBar[ν]), 0]),_Xm:>(Subscript[(OverBar[R]), i,j])(Subscript[ν, 0])})//(Subscript[m, j,0->j]);
Do[χ=(rot[0,rvk[[2,k]]]χ)//(Subscript[m, 0,k->k]), {k,{i,j}}];
ζ*=χ;
Do[
If[MemberQ[done, k+1],ζ=ζ//(Subscript[m, k,k+1->k]); st=st/.k+1->k];
If[MemberQ[done, k-1],ζ=ζ//(Subscript[m, st[[k-1]],k->st[[k-1]]]); st=st/.k->st[[k-1]]],
{k,{i,j}}];
done=done⋃{i,j},
{cc,rvk[[1]]}
];
ζ 
], {Length@$M,$M}]

{#,Z[#]//Simplify}&/@AllKnots[{1,7}]//MatrixForm